La pregunta en la prueba $\int_0^\infty \frac{\sin(at)}{t}dt=\frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a)$.

Question

En mi solución, para la prueba de $$\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}dx=\frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a),$$

que hacen como bajo. La única cosa importante es donde la plaza roja es (el resto es, como de costumbre). El dice que $\sin(t)\geq \frac{t}{2}$ al $[0,\pi/6]$ $\sin(t)\geq \frac{1}{2}$ al $t\in [\pi/6,\pi/2]$. Pero, ¿por qué no la utilice simplemente el hecho de que $\sin(t)\geq \frac{t}{2}$$[0,\pi/2]$, lo que da $$\int_0^{\pi/6}e^{-R\sin(t)}dt\leq \int_0^{\pi/2}e^{-Rt/2}dt=\frac{-2}{R}\left[e^{-Rt/2}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{-2}{R}(e^{-R\pi/4}-1)\underset{R\to \infty }{\longrightarrow }0.$$

Hay algo que no me llega ? Porque la toma de $\sin(t)\geq t/2$ todos los $t\in [0,\pi/2]$, en lugar de tomar $\sin(t)\geq t/2$ $[0,\pi/6]$ $\sin(t)\geq 1/2$ $[\pi/6,\pi/2]$ parece a un gran trabajo, ¿no ?

Answer 1

Yo no puedo decir por qué el autor(s) de la solución eligió para dividir la integral. La división de éste y no de la división de tanto trabajo, así que tampoco hay razón para no dividir, si a uno le gusta hacer eso. Pero la división de la integral introduce algo más de trabajo, desde entonces, uno tiene que calcular dos integrales en lugar de uno. Por supuesto, la estimación de una de ellas es absolutamente trivial, por lo tanto "algo más de trabajo" es básicamente el adicional de la escritura. El interesante (no totalmente trivial, pero no es difícil una vez que se alcanza el punto de) cosa que ocurre cerca de $0$, y se puede resumir como

Para todos los $A > 0$ hemos $$\int_0^A e^{-Kt}\,dt \sim \int_0^{\infty} e^{-Kt}\,dt = \frac{1}{K}$$ as $K \+\infty$.