Como$\mathbb{Z} \subset \mathbb{R},$ todos los enteros$n$ también son números reales. Sin embargo,$\mathbb{Z}$ y$\mathbb{R}$ están definidos por el axioma de Peano y corte de Dedekind, dos métodos muy diferentes. ¿Esto implica que$n$ como un entero es diferente como$n$ como un número real? ¿Si es así, cómo? ¿Es$n$ como un número racional también diferente?
Respuestas
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He leído tu pregunta como uno acerca de la intuición sobre los números, y voy a responder desde ese punto de vista.
Hay muchas formas equivalentes para la construcción de diferentes tipos de números números. Por ejemplo, usted puede construir los reales con Dedekind cortes o con secuencias de Cauchy. Si usted construcción de los números naturales primero y, a continuación, expanda a los números enteros, racionales y reales, tiene un gran número de opciones.
Como otros han señalado, en cada paso el anterior tipo de números puede ser visto como un subconjunto de los nuevos, a través de una incrustación. La exacta incrustación depende de su elección de las construcciones.
Yo veo todo esto como la formalización o definición rigurosa de los distintos tipos de números, no de la esencia de los números. La manera de ver los números es diferente. Yo podría pensar que los números como cantidades, los puntos en la geometría real de la línea, o algo más. Pienso en ellos de forma flexible en diferentes maneras. Me Dedekind cortes y como vienen desde el significado intuitivo de un número y son secundarios. Mientras que las definiciones rigurosas son cruciales para la construcción de una teoría sólida, en un nivel intuitivo veo en las definiciones como en las descripciones.
El número dos puede ser pensado como un Dedekind, un corte supremum de un conjunto de racionales, el formal de límite de una secuencia de Cauchy, el número de elementos en algunos finito de conjuntos, el conjunto formado por el conjunto vacío y el conjunto que contiene al conjunto vacío, el sucesor de uno, la relación o diferencia de dos productos naturales o enteros, o algo diferente. Es útil para ver lo mismo de muchas maneras.
Cfr
Puntos
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Lo que entra en juego aquí es la noción de incrustación, que es un inyectiva mapa de $f : X \to Y$ la preservación de la estructura.
Por ejemplo, los enteros $\mathbb Z$ se definen mediante clases de equivalencia en $\mathbb N \times N$ por la relación de equivalencia $(a,b) \sim (c,d)$ si y sólo si $a+b=c=d$.
Puede incrustar $\mathbb N$ a $\mathbb Z$ asociando $n \in \mathbb N$ a la clase $f(n) = \widetilde{(n,0)}$. Este es inyectiva, y tiene propiedades interesantes conservado como
$$f(n+m)=f(n)+f(m)$$
Al final, $\mathbb N$ no es un subconjunto de a$\mathbb Z$, pero la imagen de $\mathbb N$ por la incorporación está.
Usted puede proceder con la similar de la incrustación de incrustar $\mathbb Z$ a $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ a $\mathbb R$.
