Comprender la gama de $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Question

Tomemos la función $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$

Mi pregunta es, ¿por qué el rango de la función son todos los números reales?

Porque el hecho de que el denominador deba ser $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ y que el numerador debe ser $x$ limitar la cantidad de valores que puede producir la función? Porque para cada $x$ sólo es posible un valor del denominador. ¿No limita esto la salida de esta función, impidiendo por tanto que produzca todos los números reales? Y además, ¿puedes demostrarme que el $x$ ¿las entradas necesarias para producir cada número real están ordenadas de menor a mayor? Básicamente, ¿por qué en este caso cuanto mayor es el $x$ -valor que introduzca, mayor será el $y$ -¿Valor?

¿Puede alguien explicarme, de la forma más sencilla posible y sin cálculos, por qué el rango de la función son todos los números reales? Y además, ¿puede demostrarme que el $x$ ¿las entradas necesarias para producir cada número real se ordenan de menor a mayor? Básicamente, ¿por qué en este caso cuanto mayor es el $x$ -valor que introduzca, mayor será el $y$ -¿Valor?

Answer 1

Tenemos que $f(x)\ge 0$ para $x\ge 0$ y $f(x)< 0$ para $x< 0$ y así

$$y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\implies y^2(1-x^2)=x^2\implies x^2(1+y^2)=y^2\implies x=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}$$

que se define para cualquier $y\in \mathbb{R}$ .

Answer 2

La función se define en $(-1,1)$ y es continua.

Entonces, para demostrar que $\mathbb R$ es su rango basta con demostrar que existen secuencias $(x_n)_n$ y $(y_n)_n$ en $(-1,1)$ tal que $f(x_n)\to+\infty$ y $f(y_n)\to-\infty$ .

Para ello puede tomar $x_n=1-\frac1n$ y $y_n=-x_n$ .

En teorema del valor intermedio asegura entonces que para cada $y\in\mathbb R$ podemos encontrar $x\in(-1,1)$ que satisfaga $y=f(x)$ .

Answer 3

En breve $x$ ser un verdadero número, si eliges $t=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (que es diferente de $1$ ), entonces el valor de su función en $t$ es $x$ . Esto se puede hacer con cualquier número real $x$ por lo que el rango de la función es el conjunto de todos los números reales.

Answer 4

Compruebe que su función está definida y es continua en $]-1,1[$ . Compruebe dónde "empieza" la función ( $x\to -1$ ) y "extremos" ( $x\to 1$ ) y unir esos "puntos" mediante una recta, como se te permite hacer porque tu función es continua.