Convergencia de una serie infinita para usarla con Kroneckers Lemma

Question

Tengo el siguiente problema.

Deje $X_1,X_2,...$ ser independiente de las variables aleatorias con la misma distribución continua. Deje $E_n = \{X_n>X_m, \forall m<n\}$ ser el caso de un nuevo record en el tiempo $n$ $N_n$ la cantidad de registros en el momento en $n$.

Lo que ya hice, es para mostrar que $E_1, E_2,...$ son independientes con $P(E_n) = \dfrac{1}{n}$. Hasta ahora tan bueno.

Pero el objetivo principal es la prueba de $\dfrac{N_n}{log(n)} \to 1$.s. La idea es utilizar Kroneckers Lema para el que tengo que demostrar que $\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{I_{E_k} - 1/k}{log(k)}$ converge. No sé cómo acercarse a la última.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La idea es demostrar que no es una martingala y, a continuación, mostrar por $\mathcal{L}^2$-restricción que converge casi seguramente.

En primer lugar, defina $X_k=\frac{I_{E_k}-\frac{1}{k}}{log (k)}$. Debido a $P(E_n)=\frac{1}{n}$ como se indica en su pregunta que nos tenemos $\mathbb{E}[X_k]=0$ $\forall$k. A continuación, puede mostrar con los pasos habituales que $M_n=\sum_{k=1}^{n}X_k$ es una martingala.

Para mostrar $\mathcal{L}^2$-restricción, tenga en cuenta que $\mathbb{E}[(M_{k+1}-M_k)^2]=\mathbb{E}[(X_{k+1})^2]\leq\frac{1}{k+1(log(k+1))^2}$

Esto significa que usted puede decir $\sum_{k=1}^n\mathbb{E}[(M_{k+1}-M_k)^2]<\infty$, de modo que $sup_{n\geq 0} \mathbb{E}[M_n^2]<\infty,$ lo cual nos indica que $(M_n)$ $\mathcal{L}^2$- restringido martingala que converge casi seguramente de acuerdo a Doob la martingala teorema.