Son $ \mathbb {R}[X] / (X^2 +1)$ y $ \mathbb {C}$ homeomórfico?

Question

Los campos $ \mathbb {R}[x] / (x^2 +1)$ y $ \mathbb {C}$ son isomórfico como campos pero estoy tratando de ver si también son homeomórficos.

$ \mathbb {C}$ se le da su topología estándar, y podemos definir una métrica en $ \mathbb {R}[x]$ por $$ d \left ( \sum_ {j = 0}^a a_j x^j ~, \sum_ {j = 0}^b b_j x^j \right ) := \left ( \sum_ {j = 0}^{ \max\ {a,b\}} (a_j - b_j)^2 \right )^{1/2} $$ que induce una topología. $ \mathbb {R}[x] / (x^2 +1)$ se le da entonces la topología del cociente.

Cualquier polinomio $[f] \in \mathbb {R}[x] / (x^2 +1)$ puede escribirse como $[f] = a [1] + b [x]$ con $a,b \in\mathbb {R}$ . Un isomorfismo de campo puede entonces ser dado por el mapa $ \psi : \mathbb {R}[x] / (x^2 +1) \rightarrow \mathbb {C}$ con $$ \psi ([1]) = 1 ~,~ \psi ([x]) = i $$ Entonces tenemos que $ \psi $ combinado con el mapa de cociente $ \pi : \mathbb {R}[x] \rightarrow \mathbb {R}[x] / (x^2 +1)$ da $$ \psi \circ \pi \left ( \sum_ {k = 0}^a a_j x^k \right ) = \psi \left ( \sum_ {k = 0}^a a_k [x]^k \right ) = \sum_ {k = 0}^a a_k i^k = \operatorname {eval}_i \left ( \sum_ {k = 0}^a a_j x^k \right ) $$ Comprobé que para cualquier secuencia convergente $f_n \rightarrow f$ tenemos $ \lim_ {n \rightarrow \infty } \operatorname {eval}_i(f_n) = \operatorname {eval}_i(f) $ y desde que $ \mathbb {R}[x]$ y $ \mathbb {C}$ son espacios métricos, esto muestra que $ \operatorname {eval}_i = \psi \circ \pi $ es contigua. Por el propiedad universal de los mapas de cociente esto también muestra que $ \psi $ es continua.

Pero estoy un poco atascado en probar la continuidad de $ \psi ^{-1}$ y se alegrará de cualquier idea.

Otra cosa que me pregunto es, si la topología que elegí en $ \mathbb {R}[x]$ es la más natural que podrías elegir. La segunda posibilidad que se me ocurre es mirar $ \mathcal {C}( \mathbb {C}, \mathbb {C})$ con el topología abierta y compacta y considerar $ \mathbb {R}[x]$ como un subespacio si esto (continuidad de $ \operatorname {eval}_i$ sería fácil de seguir en este caso). Sería interesante saber si son homeomórficos o no.

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Actualización

Mientras Paul Frost se asomaba (y mostraba), $ \psi $ no es continua con las suposiciones que hice. También volví a comprobar mis cálculos sobre la continuidad de $ \operatorname {eval}_i$ y de hecho encontró un error allí.

También demostró que $ \mathbb {R}[x]$ equipado con la topología inducida por el $ \Vert \cdot \Vert_1 $ la norma hace $ \psi $ continua. Ya que la prueba de usuario571438 para la continuidad de $ \psi ^{-1}$ sigue siendo correcto en estas circunstancias, $ \psi $ se muestra como un homeomorfismo en este caso. Así que esto responde a la primera parte de mi pregunta.

Answer 1

Deje que $ \varphi : \mathbb {C} \to \mathbb {R}[t] $ a través de $ \varphi (1) = 1, \varphi (i) = t $ un $ \mathbb {R} $ mapa espacial vectorial. Luego $ \varphi $ es una isometría en su imagen y por lo tanto es continua. Además, $ \psi ^{-1} = \pi \circ \varphi $ . Esto se verifica fácilmente en $ \{1, i\} $ y ambos lados de la ecuación son $ \mathbb {R} $ -lineal, así que son iguales. Así que, $ \psi ^{-1} $ es continua, así que $ \psi $ es un homeomorfismo.

Answer 2

Con la topología inducida por su métrica $d$ el mapa $ \psi $ es NO contimuoso.

Analicemos primero $ \psi $ algebraicamente. Sugiero introducir este mapa de la siguiente manera. Por la propiedad universal del anillo polinómico existe un homomorfismo de anillo único $ \Psi : \mathbb {R}[x] \to \mathbb {C}$ de tal manera que $ \Psi (x) = i$ . Así explícitamente

$$ \Psi ( \Sigma_ {j=0}^r a_j x^j) = \Sigma_ {j=0}^r a_j i^j .$$

Tenemos $ \Psi (x^2 + 1) = 0$ . De ahí el ideal generado por $x^2+1$ está mapeado para $0$ y $ \Psi $ induce un homomorfismo de anillo único $ \psi : \mathbb {R}[x]/(x^2+1) \to \mathbb {C}$ de tal manera que $ \psi \circ \pi = \Psi $ . Obviamente este es su isomorfismo de campos.

Hagamos ahora la siguiente pregunta general:

Si $ \mathbb {R}[x]$ está dotado de una topología $ \mathfrak {T}$ Entonces $ \mathbb {R}[x]/(x^2+1)$ hereda una topología de cociente. ¿Bajo qué condiciones en $ \mathfrak {T}$ es $ \psi $ un homeomorfismo?

Sólo consideramos el caso de que $( \mathbb {R}[x], \mathfrak {T})$ es un espacio vectorial topológico Hausdorff. Entonces el mapa $ \varphi : \mathbb {C} \to \mathbb {R}[x]$ según lo definido por el usuario571438 es continuo. Esto es cierto porque los polinomios de grado $ \le 1$ forman un subespacio lineal bidimensional Hausdorff. Se sabe que cada uno de estos espacios lineales es topológicamente isomórfico para $ \mathbb {R}^2$ con su topología estándar. El mapa $ \pi \circ \varphi $ es lo contrario de $ \psi $ . Concluimos

(1) $ \psi $ es un homeomorfismo si y sólo si $ \psi $ es continua.

Además tenemos

(2) $ \psi $ es continua si y sólo si $ \Psi $ es continua.

Nuestra pregunta anterior es, por lo tanto, equivalente a:

¿Bajo qué condiciones en $ \mathfrak {T}$ es $ \Psi $ continua?

Tu métrica $d$ es inducido por la norma $ \lVert \Sigma_ {j=0}^r a_j x^j \rVert_2 = ( \Sigma_ {j=0}^r a_j^2)^{1/2}$ .

Defina $p_n(x) = \frac {1}{n} \Sigma_ {j=0}^{n-1}x^{4j} \in \mathbb {R}[x]$ . Luego $ \lVert p_n(x) \rVert_2 = \frac {1}{n} n^{1/2} = n^{-1/2}$ para que $p_n(x) \to 0$ .

La secuencia $ \Psi (p_n(x)) = \frac {1}{n} n = 1$ no converge con $ \Psi (0) = 0$ y esto significa que $ \Psi $ no es continuo.

En otras palabras, la topología inducida por $d$ en $ \mathbb {R}[x]/(x^2+1)$ no puede ser Hausdorff (si lo fuera, $ \mathbb {R}[x]/(x^2+1)$ sería topológicamente isomórfico a $ \mathbb {R}^2$ y $ \psi $ sería trivialmente continuo).

Consideremos ahora la norma $ \lVert \Sigma_ {j=0}^r a_j x^j \rVert_1 = \Sigma_ {j=0}^r \lvert a_j \rvert $ . Luego

$$ \lvert \Psi ( \Sigma_ {j=0}^r a_j x^j) \rvert = \lvert \Sigma_ {j=0}^r a_j i^j \rvert \le \Sigma_ {j=0}^r \lvert a_j \rvert = \lVert \Sigma_ {j=0}^r a_j x^j \rVert_1 .$$

Esto significa que $ \Psi $ es continua con respecto a la topología inducida por $ \lVert . \rVert_1 $ .

Observación: Para todos los polinomios $p(x)$ tenemos $ \lVert p(x) \rVert_2 \le \lVert p(x) \rVert_1 $ . Esto significa que $ \lVert . \rVert_1 $ es más fuerte que $ \lVert . \rVert_2 $ . En otras palabras, la topología inducida por $ \lVert . \rVert_1 $ es más fina que la inducida por $ \lVert . \rVert_2 $ . Como hemos visto anteriormente, las dos normas no son equivalentes porque $ \Psi $ es continua con respecto a $ \lVert . \rVert_1 $ pero no con respecto a $ \lVert . \rVert_2 $ . También se puede ver directamente al considerar $q_n(x) = \Sigma_ {j=0}^{n-1} x^j$ . Tenemos $ \lVert q_n(x) \rVert_1 = n$ y $ \lVert q_n(x) \rVert_2 = n^{1/2}$ es decir. $ \lVert q_n(x) \rVert_1 / \lVert q_n(x) \rVert_2 = n^{1/2} \to \infty $ .

Answer 3

Puedes usar el cociente particular $(x^2+1)$ de $ \mathbb {R}[x]$ para conseguir un omeomorfismo inmediato de esta manera:

Si $f:A \to B $ es un mapa continuo surjectivo tal que $B$ tiene el cociente Topología de $f$ (así que un conjunto X de $B$ está abierto si y sólo si $f^{-1}(X)$ está abierto en A) que el mapa de cociente

$f^ \sim : A/ \sim \to B$

es un omeomorfismo, donde la relación $ \sim $ es:

$x \sim y$ si y sólo si $f(x)=f(y)$

Ahora el mapa $ \Psi : \mathbb {R}[x] \to \mathbb {C}$ que mapea cada $p(x)$ a $p(i)$ es un mapa continuo surjectivo y sabemos que $ \mathbb {R}[x]/(x^2+1)= \mathbb {R}[x]/ \sim $ porque $(x^2+1)$ es el núcleo de $ \Psi $ .

Entonces si te fijas en $ \mathbb {C}$ el cociente Topología de $ \Psi $ entonces el mapa

$ \psi = \Psi / \sim : \frac { \mathbb {R}[x]}{(x^2+1)} \to \mathbb {C}$

es un omeomorfismo.

Así que puedes intentar verificar sólo que el cociente de la topología de $ \Psi $ y la topología estándar de $ \mathbb {C}$ son iguales.

Si no es así, siempre se puede fijar una topología en $ \mathbb {R}[x]$ de tal manera que $ \mathbb {C}$ tiene el cociente Topología de $ \Psi $ :

$ \sigma :=\{f^{-1}(A) \subset \mathbb {R}[x] : A \in \tau \}$

donde $ \tau $ es la topología estándar en $ \mathbb {C}$

Así que puedo pensar que es la topología más natural que se puede fijar $ \mathbb {R}[x]$ porque $ \Psi $ es inmediatamente continua y $ \psi $ es un omeomorfismo.