Encontrar el área sombreada en un triángulo

Question

Aquí está el diagrama:

Sólo sé que el segmento central es una mediana del gran triángulo. Pero nada más.

Answer 1

$\hspace1in$

Dejemos que $a, b, c$ sean los 3 ángulos de la base (de izquierda a derecha) y $h$ sea la altura del triángulo.
Tenemos $$h = 6 \tan a = 3 \tan b = \tan c$$

Desde $c$ es un ángulo externo para el triángulo blanco del centro, $c = a + b$ y por lo tanto $$\tan a = \tan(c-b) = \frac{\tan c - \tan b}{1 + \tan c \tan b} = \frac{4\tan a}{1 + 12\tan^2 a} \implies \tan a = \frac12 \implies h = 3$$ Así que el área de la zona sombreada es $\frac12(3+1)(3) = 6$ .

Answer 2

Dejemos que $h$ sea la altura de los triángulos. Entonces el área del triángulo grande es $$\Delta_{\text{ large}} = \frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{h^2+36} \times \sin a$$ y el área del triángulo blanco es $$\Delta_{\text{ white}} =\frac{1}{2} \times\sqrt{h^2+1}\times\sqrt{h^2+9}\times\sin a$$

Pero como el triángulo grande tiene la misma altura que el triángulo blanco, pero tres veces su base, tenemos $\Delta_{\text{ large}} = 3 \Delta_{\text{white}}$ . Así que $$2\sqrt{h^2+36} = \sqrt{h^2+1}\sqrt{h^2+9}$$ Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando se obtiene $$h^4+10h^2+9=4h^2+144$$ $$\Rightarrow (h^2+15)(h^2-9) = 0$$ Así que $h=3$ y el área sombreada es $6$ .

Answer 3

Una prueba sin palabras:

$\hspace{3cm}$

$$\frac gh=\frac{2}{\sqrt{h^2+9}}=\frac{\sqrt{h^2+1}}{\sqrt{h^2+36}} \Rightarrow h^4+6h^2-135=0 \Rightarrow h=3.$$ $$S=\frac12(3+1)3=6.$$