¿Existe algún mapa suryectivo continuo desde $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^3$ s.t. para cada $x$ en $\mathbb{R}^3$ $f(x) \cdot x= 0$ ?

Question

¿Existe algún mapa suryectivo continuo desde $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^3$ tal que para cada $x$ en $\mathbb{R}^3$ , $f(x) \cdot x=0$ ?

¿Qué tal si reemplazo $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^4$ ?

Answer 1

Para $\mathbb{R}^3$ la respuesta es "sí".

Digamos que un mapa continuo $f : M \to \mathbb{R}^3$ definido en un subconjunto $M \subset \mathbb{R}^3$ es admisible si $f(x) \cdot x = 0$ para todos $x \in M$ .

Definir la cáscara esférica $S^2(r_1,r_2) = \lbrace p \in \mathbb{R}^3 \mid r_1 \le \lVert p \rVert \le r_2 \rbrace$ y $S^2(r) = S^2(r,r)$ = esfera con radio $r$ . Tenga en cuenta que $S^2(0,r)$ = bola cerrada con centro $0$ y el radio $r$ .

La razón de la respuesta afirmativa es que podemos encontrar una cubierta $P_i$ , $i \in \mathbb{N}$ de $\mathbb{R}^3$ de manera que cada $P_i$ está contenida en la imagen de un mapa admisible definido en una envoltura esférica adecuada $S_i$ .

Si tenemos admisibles $f_i : S^2(r_i) \to \mathbb{R}^3$ entonces $$L(f_1,f_2) : S^2(r_1,r_2) \to \mathbb{R}^3, L(f_1,f_2)(p) = \frac{r_2 - \lVert p \rVert}{r_2 - r_1}f_1(r_1 \frac{p}{\lVert p \rVert}) + \frac{\lVert p \rVert - r_1}{r_2 - r_1}f_2(r_2 \frac{p}{\lVert p \rVert})$$ se ve fácilmente que es admisible. En otras palabras, cada mapa admisible definido en la frontera de $S^2(r_1,r_2)$ tiene un extensión admisible a $S^2(r_1,r_2)$ .

Dejemos que $H_z^{\pm} = \lbrace (x,y,z) \mid sign(z) = \pm 1 \rbrace$ los semiespacios abiertos por encima y por debajo del $x$ - $y$ -Avión. $H_x^{\pm}, H_y^{\pm}$ se definen de forma similar.

Ahora dejemos que $S$ denotan $S^2$ con el polo norte y el polo sur $(0,0,\pm 1)$ eliminado. Definir una función $\varphi : S \to S^2$ como sigue: Para cada $x \in S$ dejar $G_x$ sea el gran círculo a través de $x$ y el polo norte y sur. Dejemos que $\varphi(x)$ sea el vector tangente unitario en el colector $G_x$ en el punto $x$ yendo en dirección descendente. $\varphi$ es admisible, pero no puede extenderse a $S^2$ . Definir $\phi_z^- : S^2 \to \mathbb{R}^3$ , $\phi_1(0,0,\pm 1) = 0$ , $\phi_z^-(x,y,z) = (1-z^2)\varphi(x,y,z)$ para $z \in (-1,1)$ . Entonces $\phi_z^-$ es admisible. Para cada $p = (x,y,z) \in S^2$ con $z < 0$ la línea a través de $p$ y $0$ contiene un punto no nulo de $K_z^- = \phi_z^-(S^2)$ .

Definir $K_z^-(n) = \lbrace t p \mid p \in K_z^-, t \in [n-1,n] \rbrace$ para $n \in \mathbb{N}$ . Entonces $\bigcup_{n=1}^\infty K_z^-(n) = H_z^- \cup \lbrace 0 \rbrace$ .

Del mismo modo, obtenemos un $\phi_z^+$ y establece $K_z^+(n) \subset H_z^+ \cup \lbrace 0 \rbrace$ con propiedades análogas. Haz lo mismo para obtener la obviedad $\phi_x^\pm, \phi_y^\pm$ y $K_x^\pm(n), K_y^\pm(n)$ .

En $S^2(12(n-1),12(n-1)+1)$ definir $\phi_z^-(n)(p) = (\lVert p \rVert - 11(n-1)) \phi_z^-(\frac{p}{\lVert p \rVert})$ . Este es un mapa admisible tal que $K_z^-(n) \subset \phi_z^-(n)(S^2(12(n-1),12(n-1)+1))$ . Tenga en cuenta que para $n = 1$ obtenemos $S^2(12(n-1),12(n-1)+1) = S^2(0,1)$ = bola cerrada con centro $0$ y el radio $1$ .

En las conchas esféricas $S^2(12(n-1) + 2,12(n-1)+ 3)$ definir $\phi_z^+(n)$ de manera similar, basado en $\phi_z^+$ . Haga lo mismo en $S^2(12(n-1) + 4,12(n-1)+ 5)$ basado en $\phi_x^-$ , en $S^2(12(n-1) + 6,12(n-1)+ 7)$ basado en $\phi_x^+$ , en $S^2(12(n-1) + 8,12(n-1)+ 9)$ basado en $\phi_y^-$ , en $S^2(12(n-1) + 10,12(n-1) + 11)$ basado en $\phi_y^+$ .

Esto da un mapa admisible $f: \bigcup_{k=1}^\infty S^2(2k-2,2k-1) \to \mathbb{R}^3$ que es subjetiva por construcción.

En las conchas esféricas intermedias $S^2(2k-1,2k)$ , $k \in \mathbb{N}$ , utilizaremos las extensiones admisibles para obtener un mapa suryectivo admisible $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ .