Ok, así que no sé cuándo $(a, m) = 1$, por el Teorema de Euler, $a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m$. Desde $\phi(323) = 288$, $a^{288} \equiv 1 \mod m$ al $(a, 323) = 1$. Sin embargo, hay algunos elementos $a$ tal que $(a, 323) \not= 1$$a^{288} \not\equiv 1 \mod 323$. Puesto que esos elementos no tienen inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}/323$, ¿cómo es el trabajo que $x^n$ es invertible? Me estoy perdiendo algo?
Ejercicio I. 8. Demostrar que $f : \mathbb{Z}/323 \to \mathbb{Z}/323$ $f(x) = x^n$ es un bijective mapa si $(n, 6) = 1$.
Prueba. Suponga que $(n, 6) = 1$. A continuación,$2 \not\mid n$$3 \not\mid n$. Deje $f(x) = x^n$. Ahora, por el Teorema 9.3, $\phi(323) = \phi(17 \cdot 19) = (17-1)(19-1) = 16 \cdot 18 = 288 = 2^5 \cdot 3^2$. Necesitamos $x$ tal que $nx \equiv 1 \mod 288$. Desde $2 \not\mid n$ y $ \not\mid n$, $(n, 288) = (n, 2^5 \cdot 3^2) = 1$. Entonces, por el Lema 5.2, $nx \equiv 1 \mod 288$ tiene exactamente una solución. Es decir, $n^{-1}$ existe en $\mathbb{Z}/288$. A continuación, $f^{-1} = x^{n^{-1}}$ desde $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x^n) = (x^n)^{n^{-1}} = x^{n \cdot n^{-1}} \equiv x \mod 323$. Desde $f$ es invertible, $f$ es bijective. $\blacksquare$
