Probar el límite $\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$

Question

Deseo probar el límite $$\lim_{x \to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$$

En otras palabras, dado $\epsilon > 0$ Deseo probar que puedo encontrar un $\delta > 0$ para que $$|x - 2| < \delta \implies |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|< \epsilon$$

Empecemos observando que al tomar la inversa multiplicativa de todo lo que está a la derecha del signo de implicación, tenemos que $|x-2|<\frac{1}{\epsilon}$ . Elija $\delta = \min\{1, \frac{1}{\epsilon}\}$ . Tenemos que $$|x-2|<\frac{1}{\epsilon}\implies|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon$$

Y afirmo que hemos terminado. La respuesta difiere ligeramente de la que aparece en el texto, por lo que me gustaría tener alguna confirmación/reclamación.

Answer 1

Falso. $$|x-2|<\frac{1}{\epsilon}$$ es no la inversa multiplicativa de $$\left|\frac1x - \frac12\right|<\epsilon.$$ La inversa de $\left|\frac1x - \frac12\right|$ sería $$\left|\frac{1}{\frac1x-\frac12}\right|=\left|\frac{2x}{2-x}\right|,$$ no lo que tienes.

Sin embargo, ni siquiera importa cuál es el inverso. Si tiene $0<a<b$ lo que se puede concluir es $\frac1a > \frac 1b$ Así que, aunque tu inversión fuera correcta, acabarías con una desigualdad en sentido contrario.

Answer 2

Si entiendo bien tu solución, hay un problema con tomar "la inversa multiplicativa de todo". Considere, por ejemplo, $|2+3|<6$ , lo que no implica $|1/2 + 1/3| < 1/6$ .

Answer 3

No se puede empezar manipulando la tesis. Hay que empezar por $|x-2|<\delta$ . Así que: $$ |x-2|<\delta\Rightarrow |2x||\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<\delta\Rightarrow |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<\frac{\delta}{2|x|}, $$ pero $x>\delta-2$ Así que..: $$ |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<\frac{\delta}{2|x|}<\frac{\delta}{2(\delta-2)}, $$ escriba entonces $$ \varepsilon=\frac{\delta}{2(\delta-2)}. $$

Answer 4

Aunque acepté la respuesta que daba la mejor respuesta, siento que tengo que resolverlo correctamente después de publicar un error tan vergonzoso. Queremos probar el límite $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$$ En otras palabras, queremos demostrar que para cada $\epsilon > 0,$ podemos encontrar un $\delta > 0$ para que $$|x - 2| < \delta \implies |\frac{1}{x} - \frac{1}{2}| < \epsilon$$

Manipulación de la expresión $|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}| = |(2-x)\frac{1}{2x}| = |(x-2)\frac{1}{2x}|$ . Sea $\delta < 1$ . Tenemos que $-1 < x - 2 < 1 \implies 1 < x < 3$ y, aprender de los errores del pasado, $|\frac{1}{2x}|<\frac{1}{2}$ . (En el examen de diciembre en el que inicialmente me tocó esta tarea, acabé escribiendo $|\frac{1}{2x}| < \frac{1}{6}$ Para que veas que mi malentendido con los "inversos multiplicativos" es algo que me acompaña desde hace tiempo. Nunca lo había pensado bien, aunque lo veo como algo, por ignorante que parezca, obvio ahora que alguien lo ha señalado). Eligiendo $\delta = \min\{1, 2\epsilon\}$ tenemos que $$|x - 2| < \delta \implies |\frac{1}{x} - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}\cdot2\epsilon = \epsilon$$

Y hemos terminado.