Probar dos conjuntos son iguales

Question

Supongamos que tenemos un reclamo:$A = \bigcup_{k \in \mathbb N} [-k, \frac{1}{k}) = (-\infty,1)$ = B. Me propongo demostrar esto mostrando que los dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro (es decir,$A \subset B$ y$B \subset A$).

En cuanto a mi estrategia de mostrar esto, voy a tomar un elemento arbitrario del conjunto A y mostrar que esto también pertenece a B y viceversa.

Ahora, mi problema es que, aunque puedo mostrar esto fácilmente en la imagen, me falta el argumento matemático que describe esta imagen en mi cabeza. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Para mostrar que $A\subseteq B$, no hay mucha elección en el argumento matemático. Tomar un arbitrario $a\in A$. ¿Qué significa esto? Esto significa que existe una $k\in\mathbb{N}$ tal que $a\in [-k,\frac{1}{k})$. Pero desde $-\infty<-k$$\frac{1}{k}\leq1$, tenemos la inclusión de $[-k,\frac{1}{k})\subseteq(-\infty,1)=B$. En particular, $a\in B$.

Para demostrar lo contrario inclusión, tomar una arbitraria $b\in B$. A continuación, $b$ es un número real en el intervalo de $(-\infty,1)$. Tenemos que mostrar que existe una $k\in\mathbb{N}$ tal que $b\in[-k,\frac{1}{k})$. Ahora, podemos distinguir tres casos:

• Si $b<0$, sabemos que podemos elegir un $k\in\mathbb{N}$ tal que $-k\leq b$ y un $k$ que hace el trabajo.
• Si $b=0$, cualquier $k\in\mathbb{N}$ que hace el trabajo.
• Si $b\in(0,1)$, $k=1$ hace el trabajo, ya que en ese caso tenemos $\frac{1}{k}=1>b$.

Answer 2

Dejar $x \in B$. Si$0 \leq x < 1$, luego$x \in [-1,1)$ (taponando$k=1$), obtenemos ese$x \in A$. Ahora si $x<0$, $-x>0$. Elija un número entero$k_{0} \in \mathbb{N}$ tal que$-x<k_{0}$, de ahí$x \in [-k_{0},0) \subset[-k_{0},\frac{1}{k_{0}} )$. Por lo tanto$B \subseteq A$. Ahora, deje$y \in A$, entonces podemos encontrar$k_{1} \in \mathbb{N}$ tal que$y \in [-k_{1},\frac{1}{k_{1}})$. de ahí que$- \infty <k_{1}<y <\frac{1}{k_{1}}<1$ (aunque la primera desigualdad no es apropiada para escribir, pero es solo para hacerlo concreto), ¡la última desigualdad no es difícil de ver!

Answer 3

Tenga en cuenta primero que para cualquier$k\in\Bbb N,$ tenemos$$\frac 1k\le1,$$ and so $$\left[-k,\frac1k\right)\subseteq(-k,1)\subseteq(-\infty,1).$$ Since this holds for all $ k \ in \ Bbb N,$ then $ A \ subseteq B. $

Para la inclusión inversa, tenemos que recurrir a la búsqueda de elementos. Si$b\in B,$ queremos mostrar que hay$k\in\Bbb N$% tal que$b\in\left[-k,\frac1k\right),$ lo que significa que necesitamos$-k\le b<\frac1k.$ Ahora, si$b\ge0,$ esto es fácil. Si$b<0,$ usamos el hecho de que$-b$ no es un límite superior de$\Bbb N$ para deducir que hay un$k\in\Bbb N$% tal que$-b\le k,$ y a partir de ahí es sencillo.