¿Puede una matriz idempotente tener valores propios complejos?

Question

Deje que $P \in\mathbb {R}^{n \times n}$ ser una matriz no trivial e idempotente: $P^2=P$ , $P \neq 0$ , $P \neq I,$ donde $I$ es el $n \times n$ matriz de identidades.

¿Cuáles son los valores propios de $P$ ?

Solución:
Deje que $x$ ser un eigenvector de $P$ con el correspondiente valor propio $ \lambda $ : $$Px= \lambda x.$$ También tenemos $$P(Px)=P \lambda x = \lambda Px= \lambda ^2x,$$ y, ya que $P^2=P,$ tenemos $$P^2x=Px \implies\lambda ^2= \lambda. $$ Así que.., $ \lambda ( \lambda -1)=0 \implies \lambda =0$ o $ \lambda =1.$

Sin embargo, ¿no es también correcto decir que, ya que $P$ es idependiente, también tenemos $$P^m=P^{m-1}P=P^{m-2}PP=P^{m-2}P=P^{m-3}P=...=P$$ para cualquier número entero $m \geq0 $ ? Si eso es correcto, entonces también tenemos $$P^mx= \lambda ^mx,$$ y así $$ \lambda ^m= \lambda $$ o $ \lambda ( \lambda ^{m-1}-1)=0 \implies\lambda =0$ o $ \lambda ^{m-1}=1$ . ¿Hay algo malo en decir $$ \lambda = \exp\left (2 \pi i \frac {k}{m-1} \right ),$$ para $k=0,1,...,m-2$ ?

Answer 1

Ya que tenemos $P^2=P$ entonces el polinomio $x^2-x=x(x-1)$ aniquila $P$ por lo que el conjunto de valores propios de $P$ es un subconjunto del conjunto de las raíces de este polinomio: $$\operatorname{sp}(P)\subset\{0,1\}$$

Answer 2

Sin apelar a otros teoremas o argumentos, tu análisis está bien hasta que dices que $\lambda^{m-1} = 1$ por lo tanto $\lambda = \exp 2\pi i \frac{k}{m-1}$ .

El error aquí es que excluye la posibilidad de que se repitan los valores propios. Es decir, el conjunto de todos los $\lambda \neq 0$ no es igual al conjunto (de valores únicos) generado por $\exp 2\pi i \frac{k}{m-1}$ sino que debe ser un subconjunto de los elementos únicos generados por $\exp 2\pi i \frac{k}{m-1}$ . Desde $P$ sólo tiene $n$ valores propios (incluida la multiplicidad), si uno o varios tienen multiplicidad $> 1$ entonces habrá algunos valores de $m,k$ tal que $\exp 2\pi i \frac{k}{m-1}$ no produce un valor propio.

Así que sería más apropiado decir que $\lambda \subset \{\exp 2\pi i \frac{k}{m-1}\ \mid\ m,k \in \mathbb{Z}\},$ pero esto no resuelve tu problema.