Probar la continuidad con conjuntos abiertos

Question

Tengo una duda acerca de cómo probar la continuidad mediante la definición en términos de bloques abiertos. El $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad no es muy agradable para trabajar, sin embargo, yo sé lo que se debe hacer: debemos demostrar que para cualquier $\epsilon$ habrá un $\delta$ satisfacer las necesidades de las desigualdades.

Pero, ¿qué acerca de la otra definición? Deje $(M_1, d_1)$ $(M_2, d_2)$ ser métrica espacios. Una función de $f: (M_1, d_1) \to (M_2, d_2)$ se llama continua si para cada conjunto abierto $U$$M_2$, la preimagen $f^{-1}(U)$ está abierto en $M_1$. Entiendo que esta definición, pero cómo utilizar en la práctica? Por ejemplo, supongamos $\mathbb{R}$ denotar la línea real como un espacio métrico con la métrica usual $d(x,y) = |y-x|$, entonces ¿cómo puedo mostrar el uso de esta definición, la función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ es continua en cada punto de $\mathbb{R}$?

Mi problema es que ni siquiera sé por dónde empezar. ¿Qué procedimiento debemos tomar?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que el libre juego de la definición de no manejar la continuidad en los puntos individuales, sino más bien como un todo (es decir, en todos los puntos).

Deje $U\subset\mathbb R$ ser un conjunto abierto. Tenemos que mostrar que $f^{-1}(U)$ está abierto. Así que si $a\in f^{-1}(U)$, debemos demostrar que algunas abrir la bola alrededor de $a$$f^{-1}(U)$. Es decir, tenemos a exhibir algunas $\delta$ tal que $|a-x|<\delta$ implica $f(x)\in U$. Con el fin de encontrar $\delta$, podemos hacer uso del hecho de que $U$ está abierto, que es que no existe $\epsilon>0$ tal que $|y-f(a)|<\epsilon$ implica $y\in U$. Como te darás cuenta, que hemos acabado haciendo simplemente el la $\epsilon\delta$ a prueba de ...