Teorema de integración: ¿suposiciones suficientes?

Question

Permita que$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función continua. Demuestre que si$$\int_a^b f(x)g(x)dx=0$ $ para todas las funciones continuas$g:[a,b]\to\mathbb{R}$ con$g(a)=g(b)=0$, entonces$f(x)=0$$\forall x\in[a,b]$

Tengo dificultades para probar esta pregunta. Considere por ejemplo$g(x)=0$$\forall x\in[a,b]$, entonces las suposiciones aún se mantienen, pero$f(x)$ puede ser cualquier cosa (fi$f(x)=1\neq0$). ¿Alguien podría decirme si este razonamiento es correcto?

Answer 1

Tu razonamiento es incorrecto: la hipótesis pide que la integral sea cero para todos continuo $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ $g(a) = g(b) = 0$, no sólo para la opción particular $g = 0$.

Así $f = 1$ es invalida debido a la función $g$ que es una cuadrática no lineal que es $0$ a tanto $a$ y $b$.

Answer 2

La prueba comienza así:

Supongamos, por contradición que

$ \exists x_0 \ \in \ (a,b) \ :\ f(x_0)>0 $ entonces $ \exists \delta>0 \ :\ f(x)>0 \ \ \forall x \in(x_0-\delta,x_0+\delta) $

¿Puedes alcanzar la contradicción?

Answer 3

Tenga en cuenta que si $f$ satisfacer $f(a) = f(b) = 0$, usted podría tomar $g = f$ y consigue $\int_a^b f^2(x) \, dx = 0$ y desde $f^2(x)$ es continua y no negativa, inmediatamente se $f(x) \equiv 0$. En general, usted puede modificar $f$ continuamente, por lo que se mantiene la misma en $[a + \frac{1}{n}, b - \frac{1}{n}]$, pero desciende a cero después. Definir

$$ g_n(x) = \begin{cases} f \left( a + \frac{1}{n} \right) n(x-a) & a \leq x \leq a + \frac{1}{n}, \\ f(x) & a + \frac{1}{n} \leq x \leq b - \frac{1}{n}, \\ -f \left( b - \frac{1}{n} \right)n(x - b) & b - \frac{1}{n} \leq x \leq b. \end{casos} $$

A continuación,$g_n(a) = g_n(b) = 0$, la función de $g_n$ es continua y

$$ 0 = \int_a^b f(x)g_n(x) \, dx = \int_{a+\frac{1}{n}}^{b-\frac{1}{n}} f^2(x) \, dx + \operatorname{Junk}_n$$

donde $\operatorname{Junk}_n \to 0$ donde $n \to 0$ (mostrar esta demostrando que $\operatorname{Junk}_n \leq \frac{2M}{n}$ donde $|f| \leq M$). Tomando el límite, se puede obtener el resultado requerido.