Área máxima de rectángulo con perímetro fijo.

Question

¿Cómo puede usted, con funciones polinómicas, determinar el máximo de área de un rectángulo con un perímetro fijo.

Aquí está el problema exacto-

Tiene 28 pies de conejo a prueba de esgrima para instalar alrededor de su jardín de vegetales. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín con el área más grande?

He mirado en este Intercambio de la Pila y no he encontrado una respuesta a este tipo de problema (he, curiosamente, encontró una similar para cóncava pentágonos).

Si usted no puede darme la respuesta exacta, cualquier sugerencias para obtener la respuesta correcta sería muy apreciada.

Answer 1

Aquí es un enfoque ligeramente diferente. Veamos lo que ocurre si se utiliza un rectángulo con base $x$ y la altura de la $y$.

Entonces el perímetro (cantidad de esgrima) utilizado es $2x+2y$. Esto es $28$, lo $2x+2y=28$ o, más sencillamente $x+y=14$.

Tenga en cuenta que $$4xy=(x+y)^2-(x-y)^2.$$ Desde $x+y=14$, se deduce que $$4xy=(14)^2-(x-y)^2.$$ Para hacer $4xy$ (y, por tanto,$xy$) tan grande como sea posible, se debe restar como poco como sea posible de $(14)^2$. Así que no debemos cometer $(x-y)^2$ tan pequeño como sea posible. Desde $(x-y)^2$ es un cuadrado, siempre es $\ge 0$, y es menor al $x=y$, es decir, cuando nuestro rectángulo es un cuadrado.

Answer 2

¿ Esto ayuda?

Editar: Además, ¿está en otro lugar del problema que tiene que ser un rectángulo? Porque, de lo contrario, un rectángulo no sería la mejor opción.