Probar$7|x^2+y^2$ iff$7|x$ y$7|y$

Question

La pregunta está básicamente en el título: Probar$7|x^2+y^2$ iff$7|x$ y$7|y$

Obtengo cómo hacerlo desde$7|x$ y$7|y$ hasta$7|x^2+y^2$, pero no al revés.

¡Ayuda es apreciada! Gracias.

Answer 1

$x^2,y^2$ puede ser $0^2\equiv0, (\pm1)^2\equiv1,(\pm2)^2\equiv4, (\pm3)^2\equiv2\pmod 7$

Observe eso sin ninguna combinación, excepto$0,0$ de$x^2+y^2 \equiv0\pmod 7$

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Alternativamente,

Si $(7,xy)=1, x^2+y^2\equiv0\pmod 7\implies \left(\frac xy\right)^2\equiv-1\pmod 7$

Pero sabemos que $-1$ es un residuo cuadrático$\pmod p$% iff prime$p\equiv 1\pmod 4$%

Answer 2

$x^2+y^2 \equiv \mod 7 \implies x^2 \equiv k \mod 7$ y$y^2 \equiv 7-k \mod 7$

Y cualquier$a^2 \equiv 0,1,4,2\mod 7$ (¿Por qué?)$\implies k=0$

Answer 3

Este es un hecho más general.

Para citar wikipedia :
Si$p$ es primo y$p ≡ 3 \pmod 4$, el negativo de un módulo de residuo$p$ es un residuo y el negativo de un residuo no es un residuo.

Por lo tanto, para$p$ es primordial con$p ≡ 3 \pmod 4,$$p\mid x^2+y^2\iff p\mid x$ y$p\mid y$.

Answer 4

Sugerencia $\rm\ mod\ 7\!:\ x,y\not\equiv 0,\ \ x^2 \equiv -y^2\ \stackrel{cube}{\Rightarrow}\, 1\equiv x^6\equiv -y^6\equiv -1\:\Rightarrow\Leftarrow,\ $ a través del pequeño Fermat.

Answer 5

Es una cuestión de aritmética modular. Si $a|b$,$b\equiv 0 \pmod{a}$. Así que usted sabe que

$$ x^2+y^2 \equiv 0 \mod 7 $$ Usted desea mostrar que no hay otros valores de $x$ $y$ que va a satisfacer este. Un enfoque es, como laboratorio de bhattacharjee notas, la evaluación directa de las posibilidades. Alternativamente, usted puede suponer que $y\equiv nx\pmod{7}$ para algunos entero $n$. Entonces tenemos $$ x^2(1+n^2)\equiv 0 \mod 7 $$ Por lo tanto, si $x\not\equiv 0\pmod7$, entonces debemos tener la $$ n^2\equiv -1 \mod 7 $$ Sin embargo, no existe ningún entero $n$ que cumplan esta condición. Por lo tanto, $x\equiv 0\pmod7$. Y desde $y\equiv nx\equiv0\pmod7$,$7|x$$7|y$.