Funciones de paso en $[a,b]$ son densos en $\mathcal C^0([a,b])$ .

Question

Dejemos que $\|f \|=\sup_{[a,b]}|f|$ . Consideramos que ( $\mathcal C^0([a,b]),\|\cdot \|)$ y $(\mathcal E([a,b]),\|\cdot \|)$ donde $\mathcal E([a,b])$ es un conjunto de las funciones de paso en $[a,b]$ . Tengo que demostrar que $\mathcal E([a,b])$ es denso en $\mathcal C^0([a,b])$ .

Ahí está mi prueba:

Dejemos que $f\in\mathcal C^0([a,b])$ y $\varepsilon>0$ . Desde $f$ es continua en $[a,b]$ también es uniformemente continua y por lo tanto, hay una $\delta>0$ s.t. $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ para todos $x,y\in[a,b]$ s.t. $|x-y|<\delta$ . Dejemos que $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ tal que $x_{i+1}-x_i<\delta$ para todos $i$ . Establecemos $\varphi(x)=f(x_i)$ para todos $i=0,...,n-1$ y $\varphi(x_n)=f(x_n)$ . Por lo tanto, si $x\in[a,b[$ Hay un $i$ tal que $x_i\leq x<x_{i+1}$ y por lo tanto $$|f(x)-\varphi(x)|=|f(x)-\varphi(x_i)|<\varepsilon$$ desde $|x-x_i|<\delta$ . Por último, dado que $f(b)=\varphi(b)$ conseguimos que $$\forall x\in[a,b], |f(x)-\varphi(x)|<\varepsilon$$ y por lo tanto $$\|f-\varphi\|=\sup_{[a,b]}|f-\varphi|<\varepsilon$$ lo que demuestra la afirmación.

P1) ¿Es correcto?

P2) Hay algo que me resulta extraño. Si $A$ es denso en $B$ En particular $A\subset B$ pero aquí, ¿cómo puede $\mathcal E([a,b])\subset \mathcal C^0([a,b])$ ya que un elemento de $\mathcal E([a,b])$ no es necesariamente continua?

Answer 1

Tienes razón en lo que dices de que parece extraño. Simplemente no es correcto decir que las funciones escalonadas son densas en las funciones continuas, porque no son un subconjunto de las funciones continuas.

Answer 2

Sí. La continuidad uniforme significa que se puede utilizar un número finito de bolas para cubrir el dominio, y en cada una de esas bolas, los valores de las funciones son $\varepsilon$ -cerrar. Por lo tanto, se puede construir una función de paso que sea $\varepsilon$ -cerca de la función dada.

Answer 3

En cuanto a su pregunta 2, $\mathcal C^0([a,b])$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathcal F([a,b])$ de la función real definida en $[a,b]$ . $\mathcal E([a,b])$ es también un subespacio de $\mathcal F([a,b])$ .

Por eso se puede decir que $\mathcal E([a,b])$ es denso en $\mathcal C^0([a,b])$ .

Sin embargo, tienes razón, la definición formal de densidad se define para los subespacios.

Answer 4

¿Los irracionales son densos en los racionales? Eso no me parece correcto.

Pero podemos dejar que $X$ sea el espacio vectorial de funciones reales (o complejas) acotadas sobre $[0,1]$ con norma $\|f\| = \sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$ Eso hace que $X$ en un espacio de Bananch. En este espacio métrico gigante $X$ tiene sentido decir $\overline {\mathcal E([a,b])}$ contiene $C([a,b]).$

Answer 5

De hecho, es más bien que las funciones simples son densas en las funciones medibles con topología puntual (por definición). Para funciones medibles acotadas esto equivale incluso a la topología uniforme, es decir, dada una función medible acotada se puede encontrar una secuencia de funciones simples que convergen uniformemente a la función.

Ahora las funciones continuas son medibles y en un compacto acotado.

Sin embargo, puede haber algunas sutilezas sobre los conjuntos nulos dependiendo de la definición precisa de medible, supongo.