¿Hay alguna manera de resolver $$\frac{e^x}{x^3} = 2x + 1 $$ no numéricamente? ¿Cómo puedo demostrar que existe una solución de forma cerrada? De la misma manera, ¿cómo puedo demostrar si existe una solución analítica?
Respuestas
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GEdgar responde a la pregunta de probar que no hay algebraico solución de forma cerrada, es decir, una solución que es una número algebraico (una raíz de algún polinomio de grado finito con coeficientes racionales). Sin embargo, como menciona, si existiera tal solución $a$ entonces $a^3(2a+1)$ también sería algebraico, y no podría ser igual a $e^a$ que sería trascendental por el teorema de Lindemann.
Lo mejor que puedes hacer es resolverlo numéricamente, por ejemplo con el método de Newton. Podrías utilizar el Inversión de Lagrange (como hace Robert Israel), o quizás alguna variación de la función W de Lambert o una expansión de fracción continua infinita para cada una de las tres soluciones reales.
La mejor técnica general para encontrar soluciones reales es localizar primero las soluciones y luego utilizar un método iterativo apropiado para obtener la precisión requerida. En este caso, un método excelente que incluso se podría hacer a mano si fuera necesario, sería graficar $e^x$ (en azul abajo) frente al polinomio $x^3(2x+1)$ (en rojo). Debido al contraste de escala cerca del origen, donde hay dos raíces, y lejos de él en el primer cuadrante, donde se encuentra la tercera raíz, no es posible representarlas en una escala lineal (sin elipsis). Así que a continuación muestro las vistas importantes. La primera gráfica, del polinomio RHS cerca del origen, deberías ser capaz de dibujarla simplemente mirando la forma factorizada. Conociendo la forma de una exponencial $e^x$ , y sabiendo que siempre acaba superando a cualquier polinomio, se puede deducir entonces que debe haber tres raíces.
Como señaló @RobertIsrael, en realidad hay infinitos números complejos que satisfacen la ecuación. Si la reescribimos con las variables habituales $z=x+iy=re^{i\theta}$ (es decir, con $z$ en lugar de $x$ ), la ecuación se convierte en $$ e^x(\cos y+i\sin y) = e^z = w = 2z^3 \left( z+\frac12 \right) = 2z^4+z^3. $$ Ahora podemos tratar los lados derecho e izquierdo como dos funciones $w=f(z)=e^z$ y $w=g(z)=2z^4+z^3$ en el plano complejo. La función exponencial $f(z)$ lleva cada línea vertical a un círculo (un mapa de cobertura). El eje imaginario se mapea al círculo unitario, con $0$ enviado a $1$ y conservando la longitud. Las líneas con $x$ se escalan primero por $r=e^x$ y luego se envuelve alrededor del círculo de radio $r$ centrado en el origen. Cada línea vertical se mapea de forma suryectiva (y periódica) sobre el círculo correspondiente. Cada franja horizontal $y\in\left(2\pi t-\pi,2\pi t+\pi\right]$ (para cada $t\in\mathbb{R}$ ) es, por lo tanto, un mapa suave y de forma inyectable en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ por $z\rightarrow e^z$ . Hasta aquí el lado izquierdo. El lado derecho es un grado $4$ mapa polinómico. En función de sus componentes real e imaginaria, es $$ g(z) = 2y^4 - i(8x+1)y^3 - 3x(4x+1)y^2 + ix^2(8x+3)y + x^3(2x+1) = $$ $$ \left( 2y^4 - 3x(4x+1)y^2 + x^3(2x+1) \right) + \left( - (8x+1)y^3 + x^2(8x+3)y \right)\,i $$ y en función de sus variables polares, es $$ g(z) = 2z^4+z^3 = r^3 e^{3i\theta} \left( 2 \, r e^{i\theta} + 1 \right) = 2 \, r^4 e^{4i\theta} + r^3 e^{3i\theta} $$ a partir de la cual podemos ver que los círculos centrados en el origen se convierten en curvas cerradas con una curvatura total fija. Aquí están los gráficos de la imagen de $r=1$ , $r=2$ y $r=\frac12$ (identificables por su escala), que tienen cada una un índice de rotación $4$ y la curvatura total $8\pi$ . En cambio, el número de bobinado no es constante en el interior de la curva porque la curva se cruza a sí misma varias veces y, por lo tanto, tampoco es simple.
Por supuesto, el mapa exponencial $f(z)$ también mapea círculos a curvas cerradas, y en particular, mapea círculos centrales $z=re^{i\theta}$ con un sistema fijo de $r$ a las curvas con interceptos reales positivos recíprocos y la unidad número de bobinado sobre $w=1$ . Para investigar estas imágenes, observemos que para $r > 0$ fijo y constante, $$ \left. \eqalign{ & x+iy=z=re^{i\theta} \\\\ & \frac{dz}{d\theta}=iz=-y+ix } \right\} \qquad \implies \qquad \eqalign{ \frac{dx}{d\theta}&=-&y=-&r\sin\theta \\\\ \frac{dy}{d\theta}&= &x= &r\cos\theta } $$ de modo que para $w=f(z)$ , $$ \left. \eqalign{ & u+iv = w=e^z = \frac{dw}{dz} \\\\ & \eqalign{ \frac{dw}{d\theta} &= \frac{dw}{dz}\,\frac{dz}{d\theta} = w \cdot iz = ire^{x+i(y+\theta)} \\\\& = izw = i(x+iy)(u+iv) \\\\& = -(xv+yu)+(xu-yv)i } } \right\} \qquad \implies \qquad \eqalign{ \frac{du}{d\theta}&=-&re^x\sin(\theta+y) \\\\ \frac{dv}{d\theta}&= &re^x\cos(\theta+y) \\\\ \frac{dv}{du} &=-&\cot(\theta+r\sin\theta) } $$ Identificación de $f$ y $g$ con funciones reales $F,G:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ , $$ \eqalign{ F(r,\theta) &=f(z) =e^{r\cos\theta} \left( \cos\left(r\sin\theta\right),~ \sin\left(r\sin\theta\right) \right) \\\\ G(r,\theta) &=g(z) =r^3 \left( 2r\cos{4\theta} +\cos{3\theta},~ 2r\sin{4\theta} +\sin{3\theta} \right) } $$ nuestra ecuación compleja se convierte en un sistema de dos ecuaciones reales simultáneas: $$ \eqalign{ e^{r\cos\theta} \cos\left(r\sin\theta\right) &= r^3 \left( 2r\cos{4\theta} +\cos{3\theta} \right) = r^3 \left( 2r\,\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev\_polynomials#Examples}{T\_4}\\left(\\cos\\theta)\\right) +T_3\left(\cos\theta)\right) \right) \\\\ e^{r\cos\theta} \sin\left(r\sin\theta\right) &= r^3 \left( 2r\sin{4\theta} +\sin{3\theta} \right) = r^3 \left( 2r\,\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev\_polynomials#Examples}{U\_4}\\left(\\cos\\theta)\\right) +U_3\left(\cos\theta)\right) \right) \sin\theta } $$
Matthew Scouten
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2518
Si escribes tu ecuación como, por ejemplo, $f(x)=t$ donde $f(x) = e^x - 2 x^4 - x^3$ se puede utilizar la fórmula de inversión de Lagrange para obtener soluciones en serie de potencias. Un punto de partida conveniente es $f(1)=e-3$ . Tomando $a=1$ y $b=f(a) = e-3$ la fórmula de inversión de Lagrange dice que para $t$ cerca de $b$ una solución de $f(x)=t$ es $$ g(t) = a + \frac{t-b}{f'(a)} + \sum_{n=2}^\infty \lim_{w \to a} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}} \left(\frac{w-a}{f(w)-b}\right)^n \frac{(t-b)^n}{n!}$$ que en este caso es $$ g(t) = 1 + \frac{t-b}{e-11} + \frac{-e+30}{(e-11)^3} \frac{(t-b)^2}{2} + \frac{2 e^2 - 115 e +2106}{(e-11)^5} \frac{(t-b)^3}{6} + \frac{-6e^3+470 e^2 - 16237 e + 232608}{(e-11)^7} \frac{(t-b)^4}{24} + \ldots$$
Anthony Cramp
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126
Teorema de Lindemann: Si $a$ es distinto de cero y algebraico, entonces $e^a$ es trascendental. http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem
De esto vemos que su ecuación no tiene soluciones algebraicas.
Nota: su título sí utiliza la palabra "algebraico"... aunque su cuerpo diga "analítico".
