El uso de la sugerencia: $H= \dfrac{z^2}{2}-\cos \theta$ es constante a lo largo de las curvas integrales de $X$. Es decir, si $\alpha(t)=(\theta(t), z(t))$ es una curva integral de $X$, entonces la composición de la $h(t)=H(\alpha(t))$ es una función constante de $t$. Para mostrar esto, mostrar que $dh/dt=0$, utilizando la regla de la cadena y que $\alpha$ es una curva integral de $X$, es decir, $\dot\theta=z,\dot z=-\sin\theta.$
De ello se sigue que la integral de la curva a través de $(a,b)$ está contenida en el conjunto definido por $H(\theta,z)=H(a,b)$, es decir, un conjunto de nivel de $H$. Ahora es fácil mostrar que todos los conjuntos de nivel de $H$ son compactos, es decir, cada una es cerrado y acotado subconjunto de $S^1\times \mathbb R$.
[Es una buena idea en este momento para una pausa y tratar de dibujo cuidadosamente las curvas de nivel de $H$ en el avión. Luego compara tu dibujo con lo que se obtiene por la búsqueda de imágenes de google para la "fase retrato péndulo". Ver al final de mi respuesta para el origen de este nombre.]
La situación es entonces de la siguiente manera: todas las curvas integrales de $X$, a excepción de 3, llenar sus correspondientes $H$ a nivel de conjunto, que es compacto. La excepción es el conjunto de nivel de $H=1$. Este conjunto de nivel es completada por los 3 curvas integrales: el punto fijo,$(\pi,0)$, y dos curvas integrales, que "begin" y "end" en este punto fijo. Usted puede tomar, por ejemplo, las curvas integrales a través de $(0,\pm 2)$. Es muy complicado escribir explícita expresión de estas curvas integrales (que implica elíptica funciones), pero no es necesario para mostrar que cada una de estas curvas integrales llena el complemento del punto fijo en el conjunto de nivel de $H=1$.
Así que para responder a preguntas de yr, es necesario presentar: 1. la integral de la curva a través de $(\pi/2,0)$ llena hasta el nivel de $H=0$, y 2. las curvas integrales a través de $(0,\pm 2)$ llenar el complemento de $(\pi, 0)$ en el conjunto de nivel de $H=1$.
Voy a dejar que usted piensa acerca de lo primero. Me pueden ayudar con esto también, más tarde, si es necesario.
Nota: el uso de $H$ en este problema es un truco llamado "conservación de energía", asociado con Newton la famosa ecuación de $F=ma$. En nuestro caso, hay que empezar con el péndulo de la ecuación de $\ddot\theta=F(\theta)$ donde $F(\theta)=-\sin \theta$. Definir $V(\theta)=-\cos\theta$, por lo que $F=-dV/d\theta$ ($V$ se llama la "energía potencial"). Definir $T(z)=z^2/2$ (llamada la "energía cinética") y deje $H=T+V$ (llamada la "energía"). A continuación, puede ver que estas definiciones implican que para cualquier solución de $\theta(t)$ de las de Newton $\ddot\theta=F(\theta)$, la composición de la $h(t)=H(\theta(t), \dot\theta(t))$ es una función constante de $t$. O más geometricaly, el plano de la curva de $\alpha(t)=(\theta(t), \dot\theta(t))$ está contenida en una de las curvas de nivel de la función $H(\theta,z)$.
Por cierto, la letra de $H$ proviene de Hamilton, siglo 19, físico matemático, y $H$ es también llamado el "Hamilton". Hamilton di cuenta de que Newton la ecuación puede ser reescrita $\dot\theta =\partial H/\partial z, \dot z=-\partial H/\partial \theta$. Una buena referencia es la de Arnold libro "métodos matemáticos de la mecánica clásica".
