Diferenciales en la secuencia espectral Lyndon-Hochschild

Question

El Lyndon-Hochschild(-Serre) espectral de la secuencia se aplica al grupo de extensiones en una manera análoga a la de Serre-Leray espectral de la secuencia aplicada a un fibration.

¿Alguien sabe de una buena descripción (o referencia) de la transgresión de los mapas en el Lyndon-Hochschild espectral de la secuencia? MacLane los describe en términos de un aditivo relación, pero no me parece que esto ayuda en la informática.

De manera más general, no sé cómo calcular los diferenciales en este espectro de la secuencia. En la Serre espectral de la secuencia, puedo ver cómo una exacta pareja surge y los diferenciales son fáciles de ver si no es fácil de calcular. Pero el LHSS surge de un doble complejo y no estoy seguro de cómo obtener una exacta pareja de este.

Answer 1

Un doble complejo es en realidad una de las mejores situaciones para describir los diferenciales de forma explícita.

Dicen que C{p,q} es un doble complejo (voy a tomar el convenio que esto significa que la vertical diferencial de viajes con la horizontal diferencial) y que tienen un elemento x que está en la i-esima la página de la secuencia espectral en bidegree (p,q).

Que en realidad significa que existe un ascensor, dada por una secuencia de elementos (x0,x1,x2,...,x{i-1}) con xi en C{p-i,p+i} con las siguientes propiedades:

x0 es un ascensor de su elemento x a la doble complejo, la vertical diferencial aplicado a x0 da cero, y la horizontal diferencial aplicado a cualquier xi coincide con la vertical diferencial aplicado a x{i+1}.

A continuación, el d_r diferencial de x es la clase de equivalencia de la horizontal diferencial aplicado a la última clase x{i-1}. Usted puede demostrar que esto es independiente de la elección de ascensor.

En términos exactos de la pareja, esto viene de filtrado de la doble complejo C{p,q} por el subcomplejos sólo consta de las primeras columnas.

edit: estoy usando homológica convenios en lugar de cohomological convenios; para cohomology todo va en la dirección opuesta y se filtra por el cociente de complejos en lugar de subcomplejos.

Answer 2

Si solo necesitas las primeras dos transgresiones, hay una buena descripción de ellas en el documento

MR0641328 (83a: 18021) Huebschmann, Johannes. Automorfismos de extensiones de grupo y diferenciales en la secuencia espectral Lyndon \ mhy Hochschild \ mhy Serre. J. Algebra 72 (1981), no. 2, 296--334.

Para cálculos concretos, esta descripción es a veces más fácil que la descripción abstracta sin sentido del doble complejo.