Muestran que

Question

Una integral del mundo de las matemáticas; fórmulas pi (50),

ps

Encontramos otra integral similar, mediante un integrador de wolframio experimental,

ps

¿Alguien puede ayudarnos a demostrarlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\displaystyle\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Deje$\displaystyle t=e^{-\frac{x\pi}{2}}$, luego$\displaystyle dt=-\frac{\pi}{2}e^{-\frac{x\pi}{2}}dx$. Además, tenemos$t=1$ como$x=0$, y$t\to0$ como$x\to\infty$. Por lo tanto, \begin{align} \frac{\pi}{4}\int_0^\infty\frac{e^{-2x\pi}\left( 1-e^{-\frac{x\pi}{2} } \right)^4}{\cosh\left(\frac{x\pi}{2}\right)}dx &=\frac{\pi}{4}\int_0^\infty\frac{e^{-2x\pi}\left( 1-e^{-\frac{x\pi}{2} } \right)^4}{\frac{e^{\frac{x\pi}{2}}+e^{-\frac{x\pi}{2}}}{2}}dx\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^\infty\frac{e^{-2x\pi}\left( 1-e^{-\frac{x\pi}{2} } \right)^4}{e^{\frac{x\pi}{2}}+e^{-\frac{x\pi}{2}}}\left(-\frac{2}{\pi}e^{\frac{x\pi}{2}}\right)\left(-\frac{\pi}{2}e^{-\frac{x\pi}{2}}dx\right)\\ &=-\int_0^\infty\frac{e^{-2x\pi}\left( 1-e^{-\frac{x\pi}{2} } \right)^4}{1+e^{-x\pi}}\left(-\frac{\pi}{2}e^{-\frac{x\pi}{2}}dx\right)\\ &=-\int_1^0\frac{t^4\left( 1-t\right)^4}{1+t^2}dt\\ &=\int_0^1\frac{t^4\left( 1-t\right)^4}{1+t^2}dt. \end{align}