Generalizada del caso: Tres coeficientes binómicos consecutivos en AP

Question

Esto es una generalización de mi pregunta anterior aquí publicada recientemente, y es más interesante.

Tres coeficientes binómicos consecutivos $$\binom n{r-1},\binom nr, \binom n{r+1}$ $ están en un AP (progresión aritmética) con diferencia común positiva. Encontrar los pares posibles de $(n, r)$ donde ambos $n, r$ son enteros positivos.

Answer 1

Al escalar el triple sólo tenemos que: $$ \frac{r}{n-r+1},1,\frac{n-r}{r+1} $ $ están en progresión aritmética, o: $$ r(r+1), (r+1)(n-r+1), (n-r)(n-r+1). $ $ Esto conduce a la condición: %#% $ #% que equivale a: % $ $$ r(r+1)+(n-r)(n-r+1) = 2(r+1)(n-r+1) $Esto conduce a $$ (2r-n)^2 = n+2.\tag{1} $ y $n=a^2-2$. Suponiendo que $|2r-n|=a$, obtenemos: $r\leq\frac{n}{2}$ $