$f:\Bbb C\times \Bbb R \rightarrow \Bbb C$ Es una función continua, y cada $t\in \Bbb R, f(t,z)$ es una función entera. Definiremos $$ A(z) = \int_0^1f (t, z) \, dt. $$ Muestran que $A(z)$ es una función entera.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Desde $f$ es continua, sabemos por el general la integración de la teoría que
$$A(z) = \int_0^1 f(t,z)\,dt$$
define una función continua en todos los de $\mathbb{C}$, y queda por ver que $A$ es holomorphic.
Por Morera del teorema, $A$ es holomorphic si y sólo si
$$\int_{\partial \Delta} A(z)\,dz = 0$$
para todos los triángulos $\Delta \subset \mathbb{C}$. Ahora,
$$\begin{align} \int_{\partial\Delta} A(z)\,dz &= \int_{\partial\Delta} \int_0^1 f(t,z)\,dt\,dz\\ &= \int_0^1 \int_{\partial\Delta} f(t,z)\,dz\,dt\\ &= \int_0^1 0\,dt\\ &= 0, \end{align}$$
puesto que la continuidad de $f$ permite cambiar el orden de integración sobre el pacto de los dominios de la integración de $[0,1]$$\partial\Delta$.
Por lo $A$ es holomorphic en todos los de $\mathbb{C}$, es decir, todo.