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Mostrar que una integral de una función entera es una función entera

$f:\Bbb C\times \Bbb R \rightarrow \Bbb C$ Es una función continua, y cada $t\in \Bbb R, f(t,z)$ es una función entera. Definiremos $$ A(z) = \int_0^1f (t, z) \, dt. $$ Muestran que $A(z)$ es una función entera.

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MrTuttle Puntos 1116

Desde $f$ es continua, sabemos por el general la integración de la teoría que

$$A(z) = \int_0^1 f(t,z)\,dt$$

define una función continua en todos los de $\mathbb{C}$, y queda por ver que $A$ es holomorphic.

Por Morera del teorema, $A$ es holomorphic si y sólo si

$$\int_{\partial \Delta} A(z)\,dz = 0$$

para todos los triángulos $\Delta \subset \mathbb{C}$. Ahora,

$$\begin{align} \int_{\partial\Delta} A(z)\,dz &= \int_{\partial\Delta} \int_0^1 f(t,z)\,dt\,dz\\ &= \int_0^1 \int_{\partial\Delta} f(t,z)\,dz\,dt\\ &= \int_0^1 0\,dt\\ &= 0, \end{align}$$

puesto que la continuidad de $f$ permite cambiar el orden de integración sobre el pacto de los dominios de la integración de $[0,1]$$\partial\Delta$.

Por lo $A$ es holomorphic en todos los de $\mathbb{C}$, es decir, todo.

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