Grupo Picard de fibra genérica

Question

Dejemos que $C$ sea una curva irreducible sobre un campo $k$ y que $X$ ser un $k$ -con un morfismo $f: X \to C$ . Sea $X_{k(C)} \to k(C)$ sea la fibra genérica de este morfismo. ¿Bajo qué condiciones "razonables" sobre $X$ , $C$ y/o $f$ (suavidad, propiedad, etc.) la secuencia natural

$$\text{Pic}\,C \to \text{Pic}\,X \to \text{Pic}\,X_{k(C)} \to 0$$

¿es exacto? Por ejemplo, ¿se cumple si $X$ , $C$ y $f$ son suaves y adecuados?

Answer 1

Hay que suponer $X\to C$ plana para evitar la fibra genérica vacía.

Supongamos que $X$ es regular y plana sobre $C$ .

Entonces $\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X_K)$ , donde $K=k(C)$ es suryente. En efecto, identificando las láminas invertibles (hasta el isomorfismo) con los divisores de Weil (hasta la equivalencia lineal), basta con demostrar que cualquier punto de codimensión $1$ $P$ en $X_K$ se extiende a un divisor en $X$ . Basta entonces con tomar el cierre de Zariski de $\{ P\}$ .

Ahora veamos la exactitud en el medio. Un elemento de $\mathrm{Pic}(X)$ está en el núcleo de $\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X_K)$ si y sólo si está representado por un divisor de Weil en $X$ soportado en un número finito de fibras cerradas de $X\to C$ :

(1) si $\mathcal L\in \mathrm{Pic}(X)$ es trivial en $X_K$ dividiendo por una sección racional que es una base en $X_K$ podemos suponer que $\mathcal L$ es una subserie de $K(X)$ e igual a $O_X$ en un subconjunto abierto $U$ conteniendo $X_K$ . Así que $\mathcal L=O_X(D)$ para algún divisor de Cartier $D$ apoyado en $X\setminus U$ . Como $F=f(X\setminus U)$ es construible y, por tanto, finito, $D$ es compatible con $f^{-1}(F)$ .

(2) A la inversa, un divisor soportado en una unión finita de fibras cerradas es claramente trivial en $X_K$ .

Así que la exactitud en el medio es equivalente a decir que cualquier divisor vertical es principal. Nótese que $f(X)$ está abierto en $C$ y $f(X)$ es regular porque $X$ es regular y $X\to f(X)$ es fielmente plana. Ahora es suficiente (y esencialmente necesario) suponer las fibras de $X\to C$ son integrales porque cada fibra cerrada $X_s$ es entonces un divisor principal (si $s\notin f(X)$ no hay nada que demostrar; si $s\in f(X)$ entonces $[s]$ es un divisor principal y también lo es $[X_s]=f^*[s]$ ).

Answer 2

Dejemos que $f\colon X\to C$ sea un morfismo fielmente plano de esquemas localmente noetherianos que sea cuasi-compacto o localmente de tipo finito, donde $C$ es normal e integral con el campo de funciones $K$ . Supongamos que, para cada punto $s\in C$ de codimensión $1$ la fibra $X_{s}$ es integral. Entonces la secuencia canónica $$ {\rm Pic}\, C\to {\rm Pic}\, X\to {\rm Pic}\, X_{K} $$ es exacta. Este resultado se debe a Raynaud (véase EGA, ${\rm Err}_{\,\rm IV}$ (en el caso de los países de la Unión Europea, 53, Corolario 21.4.13, p. 361). Si, además, $X$ es localmente factorial, entonces el mapa de la derecha anterior es suryente. La siguiente prueba de esta última subjetividad me fue enviada por Cedric Pepin. Por EGA, ${\rm IV}_{4}$ Según el Corolario 21.6.10(ii), este último mapa puede identificarse con el mapa de los grupos de clases divisoras ${\frak{Cl}}\, X\to {\frak{Cl}}\, X_{K}$ . Así, basta con comprobar que todo subesquema cerrado e irreducible $D_{K}$ de codimensión 1 en $X_{K}$ se extiende a un subesquema cerrado e irreducible $D$ de codimensión 1 en $X$ . Desde ${\rm Spec}\, K\to C$ es cuasi-compacto, el morfismo canónico $D_{K}\to X$ es también cuasi-compacto y el cierre esquemático $D$ de $D_{K}$ en $X$ está definido por EGA 1 (nuevo), Corolario 6.10.6, p. 325. Dado que $D$ es cerrado e irreducible de codimensión 1 en $X$ la prueba está completa. Si alguien conoce un enunciado más general que el anterior, ¡que me lo diga!