Acabo de tener una clase de álgebra lineal y el profesor explica cómo resolver matrices. Mientras que él podría explicar cómo resolver usando eliminación de Gauss, él no pudo explicar cómo funciona.
¿Por qué matriz antes de realizar cualquier operación tiene las mismas soluciones como la matriz después de "cambiar" una fila con eliminación Gaussiana?
¿Donde puedo leer la prueba?
Cualquier ecuación de matriz es sólo un sistema de ecuaciones. Considere el ejemplo de abajo,
$$ \left( \begin{array} & 0 &0 & 1\\ 1 &1 & 1\\ 0 &1 & 1\\ \end{array}\right) \left( \begin{array} & x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array} & 1\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right), $$
que es el mismo,
$$z=1$$ $$x+y+z=2$$ $$y+z=3.$$
Usted probablemente está familiarizado con el hecho de que cuando se trabaja con un sistema de ecuaciones puede añadir múltiplos de las ecuaciones juntos sin que afecte a la solución. La verdad de esta declaración es relativa a la de Euclides de nociones comunes que en realidad son los axiomas. Esta es la razón por la suma y resta de las filas de una matriz no afectan a la solución.
Además, usted puede intercambiar las filas de la matriz y el vector constante sin afectar la solución debido a que el rendimiento de las mismas ecuaciones para$x,y,$$z$.
La matriz de la ecuación de abajo tiene las mismas soluciones que el original de la matriz de la ecuación debido a que induce el mismo sistema de ecuaciones para las variables de $x,y,z$. $$ \left( \begin{array} & 1 &1 & 1\\ 0 &1 & 1\\ 0 &0 & 1\\ \end{array}\right) \left( \begin{array} & x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array} & 2\\ 3\\ 1\\ \end{array}\right), $$
La matriz de la ecuación de abajo tiene las mismas soluciones que el original de la matriz, ya que induce ecuaciones que son combinaciones lineales de las ecuaciones inducida por la matriz original. $$ \left( \begin{array} & 1 &1 & 2\\ 1 &3 & 3\\ 0 &1 & 1\\ \end{array}\right) \left( \begin{array} & x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array} & 3\\ 8\\ 1\\ \end{array}\right), $$
Un paso en la eliminación Gaussiana es una operación elemental, realizada por la izquierda-multiplicando ambos lados de la igualdad con una Matriz elemental.
Ya que estás multiplicando por izquierda por matrices inversible en cada paso, la solución permanece sin cambios.
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