Límites para lcm$(1,\dots,n)$

Question

Necesito demostrar que hay constantes$c_1,c_2 > 1$ tales que $$ c_1 ^ n <\ mathrm {lcm} (1, \ dots, n) <c_2 ^ n $$ para$n$ entero,$n \geq 2$.

Intenté usar ese$\mathrm{lcm}(1,\dots,n)=\prod_{p \leq n} p ^{b_p}$ donde$b_p$ es el entero más grande, de modo que$p^{b_p} \leq n$. Tal vez $c_2 = 2$? Sin embargo, no hay ideas sobre el valor de$c_1$. Cualquier pista sería apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\log\text{lcm}(1,2,\ldots,n)=\psi(n)$ (el segundo de Chebyshev de la función). Quiere mostrar que $\log c_1\leqslant\frac{\psi(n)}n\leqslant\log c_2$ algunos $c_1,c_2>1$, $\log c_1,\log c_2>0$.
No necesitamos toda la fuerza de la PNT (que es equivalente a $\psi(n)\sim n$) para mostrar esto, de hecho, este es uno de Chebyshev de estimaciones:
Chebyshev probado (y la prueba de que no es duro, véase, por ejemplo, Hildebrand notas, Teorema 3.1 de la página 83) por $\log c_1=\frac12$ y $\log c_2=2+\epsilon$, $\epsilon>0$. Una muy bonita alternativa de la prueba para el límite inferior de la con $c_1=2$ se da en $\text{lcm}(1,2,3,\ldots,n)\geq 2^n$ $n\geq 7$.
Mejor los límites están implícitas en el PNT (y RH, como ustedes quieran). PNT da $c_1=e-\epsilon$ y $c_2=e+\epsilon$, $\epsilon>0$. De hecho, $\text{lcm}(1,2,\ldots,n)\sim e^n$.

Answer 2

En realidad, uno puede demostrar que el teorema del número primo implica que existe el límite$$\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\text{lcm}(1,2,\dots,n)} $ $, por lo que esto resolvería el problema. Entonces, asumiendo el PNT, este problema no es demasiado difícil. :)