Deje $T$ ser una teoría completa en una contables idioma con infinidad de modelos. Por un teorema de Baldwin-Lachlan, $T$ es uncountably categórica si y sólo si es $\omega$estable y no tiene Vaughtian pares.
La prueba de que funciona más o menos como sigue:
- Demostrar que existe un primer modelo de $\mathcal{M}_0$ $T$
- Demostrar que existe un strognly mínimo fórmula $\phi$ con parámetros en $\mathcal{M}_0$
- Demostrar que el tipo de isomorfismo de un modelo de $\mathcal{N}$ determina por completo la dimensión de $\phi^{\mathcal{N}}$ $\mathcal{M}_0$
El prototipo de los ejemplos son de algebraicamente cerrado campos de una característica fija y espacios vectoriales sobre un countably infinito campo. Aquí están los familiares de las nociones de dimensión en la forma de trascendencia grado o la costumbre de la dimensión del álgebra lineal. En estos dos casos la fuerza mínima fórmula sólo es $x=x$, así que la forma en la fuertemente conjunto mínimo se encuentra en el interior de la modelo no es muy interesante (todo!).
Un poco más interesante ejemplo es dado por la teoría de la suma directa de una infinidad de grupos cíclicos de orden $4$. Si $D$ es el conjunto de todos los elementos de orden $2$, $D$ está fuertemente mínimo. El modelo no es algebraico sobre $D$, en contraste con los dos ejemplos anteriores.
Estoy interesado en las teorías que ilustran la dificultad del teorema, en el espíritu del último ejemplo. Por ejemplo:
- Es posible que no hay fuertemente mínimo fórmula que es definible sin parámetros?
- Debe el fuerte conjunto mínimo ser único hasta quizás un número finito de elementos?
