Si una secuencia de variables aleatorias$X_n$ son asintóticamente normales, ¿en qué sentido es$e^{X_n}$ asintóticamente normal también?

Question

Si una secuencia de variables aleatorias $X_n$ son asintóticamente Normal, ¿en qué sentido es $e^{X_n}$ asintóticamente Normal?

He leído la siguiente dentro de un libro:

Es de extrañar que si $X_n$ es aproximadamente Normal para$n$, $e^{X_n}$ también es aproximadamente Normal para $n$ grande? Asintóticamente, funciones exponenciales son lineales. Pero, de nuevo, asintóticamente cualquiera de las dos personas tienen la misma edad, y esto es incluso una mejor aproximación ya que sólo difieren por una constante. John Maynard Keynes dijo que "En el largo plazo todos estamos muertos"; en el corto plazo, debemos ser felices para ser asintóticamente a la derecha, sino de manera exponencial mal?

Estoy confundido lo que el autor está tratando de decir aquí. Está tratando de decir que mientras los $e^{X_n}$ también es aproximadamente Normal para $n$ grande, es una mala aproximación? Gracias.

Answer 1

Lema: If$X_n\sim AN(\mu,\sigma^2)$ then$g(X_n)\sim AN(g(\mu),\sigma^2(g'(\mu))^2)$ para todo "nice"$g$.

Tu aqui. La prueba del lema es corta usando Taylor Expansion de$g(t)=e^t$ alrededor de$g(X_n)$. ¿Puedes completarlo?