Que $U\subset \mathbb{R}^n$ ser un subconjunto abierto acotado y $W^{1,p}(U)$ el espacio de Sobolev. ¿Es cierto que funciones en $W^{1,p}(U)$ son automáticamente continuos cuando $n=1$? Alguien amablemente me podria decir ¿por qué? Creo que esto no es cierto en general.
Respuestas
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lal00
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133
Sugiero que usted echa un vistazo en el capitulo 5 en Evans'PDE. Más detalles de la siguiente manera:
Definición. Que decir $u^$ es una versión de una función dada $u$ proporcionado $$u=u^\quad a.e.$ $
Teorema. Que $n
En su pregunta, cuando $n=1$, podemos ver que si $p>1$, entonces el $\forall u\in W^{1,p}(U)$ tiene un soporte continuo (supuesto constante) versión $u^*$.
carlfriedrich
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21
Deje $I$ ser un intervalo abierto en $\mathbb{R}$.
Lema $1$. Deje $f\in L_{loc}^1(I)$ ser tal que $$\int f\phi'=0,\ \forall\ \phi\in C_c^1(I)$$
Entonces, existe una constante $C$ tal que $f=C$.e. en $I$.
Lema $2$. Deje $g\in L_{loc}^1(I)$. Fo4 $y_0$ fija en $I$, $$v(x)=\int_{y_0}^x g(t)dt,\ x\in I$$
A continuación, $v\in C(I)$ $$\int_I v\phi'=-\int _I g\phi,\ \phi\ \in C_c^1(I)$$
$\bf{\mbox{Proof that every function in $W^{1,p}(I)$ is continuous }}$: Fix $y_0\in I$ y establezca $\overline{u}(x)=\int _{y_0}^x u'(t)dt$. Por el Lema $2$, $$\int_I \overline{u}\phi'=-\int _I u'\phi,\ \phi\ \in C_c^1(I)$$
Por lo tanto, $\int_I (u-\overline{u})\phi'=0$, $\phi\ \in C_c^1(I)$ . De ello se sigue del Lema $1$ que $u-\overline{u}=C$.e. en $I$, por lo tanto, $u=\overline{u}+C$ y puede redefinir $u$ en un conjunto de medida cero de tal manera que $u$ es continua.
Comentario 1: Las manifestaciones de todos los resultados de esto se puede encontrar en Brezis libro en las páginas $204-206$.
Observación 2: tenga en cuenta que el Lema $1$ es una versión de du Bois-Reymond lema con derivados.
