Respuestas
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Aquí hay dos pruebas diferentes.
1) tenga en cuenta que desde $1/(1+x)$ es decreciente y positiva para $x\geq 0$ y $\sum^{n}{k=1} \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum^{n}{k=1} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\leq \sum^{n}{k=1}\int {(k-1)/n} ^ {k/n} \frac{dx}{1+x} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x}=\ln(2)
2) para $n\geq 1$, la demostración por inducción la desigualdad más fuerte (que resulta también en respuesta de Andreas) %#% $ #%
De hecho, sostiene $$\sum^{n}{k=1} \frac{1}{n+k} \le \frac{3}{4}-\frac{1}{4n}.$ y $n=1$,\begin{align*} \sum^{n+1}{k=1} \frac{1}{n+1+k} &=\sum^{n+2}{j=2} \frac{1}{n+j}=\sum^{n}{j=1} \frac{1}{n+j}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\ &\leq \frac{3}{4}-\frac{1}{4n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\ &= \frac{3}{4}-\frac{1}{4(n+1)}-\frac{1}{4n(n+1)(2n+1)} \leq \frac{3}{4}-\frac{1}{4(n+1)}. \end{align*}
es convexa en $f(x) = 1/(n+x)$ $x$. Así tenemos el valor de $f(x)$ para cualquier $x \in (0 \; n]$ es menor o igual a (ecuación de la línea entre los límites de dos intervalo) $1/n + x (1/(2n)- 1/n)/n $. Suma de los valores da
$$ \sum^{n}{k=1} \frac{1}{n+k} \le \sum^{n}{k=1} 1/n + k (1/(2n)-1/n) / n = \1 + \frac12/n (+1/(2n)-1/n) de n (n 1) = 1 - \frac14 \frac{n+1}{n} = \frac{3}{4}-n \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} $$
Con las sumas parciales de la serie armónica$H_n$, tenemos$$\sum^n_{k=1}\frac1{n+k}=H_{2n}-H_n=\sum^{2n}_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum^n_{k=1}\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)=\sum^n_{k=1}\frac1{4k^2-2k}.$ $ Dado que$$4k^2-2k=4(k^2-k/2)\ge4k(k-1),$ $ podemos escribir$$\sum^n_{k=1}\frac1{4k^2-2k}=\frac12+\sum^n_{k=2}\frac1{4k^2-2k}\le\frac12+\frac14\sum^n_{k=2}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac34-\frac1{4n}<\frac34.$ $ Curiosamente, ese es el mismo resultado que en otras dos respuestas, aunque los métodos son diferentes.
