Una pregunta sobre la fórmula de adición de la arctangente.

Question

En la fórmula arctangente, tenemos que:

$$\arctan{u}+\arctan{v}=\arctan\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$$

sin embargo, sólo para $uv<1$ . Mi pregunta es: ¿de dónde viene esta condición? La situación es obvia para $uv=1$ pero, ¿por qué esa desigualdad?

Una de las posibilidades que barajé fue la siguiente: la fórmula de adición de la arctangente se deriva de la fórmula

$$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}.$$

Por lo tanto, si ponemos $u=\tan{\alpha}$ y $v=\tan{\beta}$ (lo que hacemos para obtener la fórmula de adición de la arctangente a partir de la anterior), se cumple la condición de que $uv<1$ significaría $\tan\alpha\tan\beta<1$ lo que, a su vez, implicaría (aunque NO estoy seguro de ello) que $-\pi/2<\alpha+\beta<\pi/2$ es decir, que tenemos que permanecer en el mismo periodo de tangencia.

Sin embargo, aunque lo anterior fuera cierto, sigo sin ver por qué tenemos que permanecer en el mismo período de tangente para la fórmula de $\tan(\alpha+\beta)$ para sostener. Le agradecería una explicación detallada.

Answer 1

Si $\arctan x=A,\arctan y=B;$ $\tan A=x,\tan B=y$

Lo sabemos, $$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$

Así que.., $$\tan(A+B)=\frac{x+y}{1-xy}$$ $$\implies\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)=n\pi+A+B=n\pi+\arctan x+\arctan y $$ donde $n$ es cualquier número entero

Como el valor principal de $\arctan z$ mentiras $\in[-\frac\pi2,\frac\pi2], -\pi\le\arctan x+\arctan y\le\pi$

$(1)$ Si $\frac\pi2<\arctan x+\arctan y\le\pi, \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)=\arctan x+\arctan y-\pi$ para mantener $\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$

Observe que $\arctan x+\arctan y>\frac\pi2\implies \arctan x,\arctan y>0\implies x,y>0 $

$\implies\arctan x>\frac\pi2-\arctan y$ $\implies x>\tan\left(\frac\pi2-\arctan y\right)=\cot \arctan y=\cot\left(\text{arccot}\frac1y\right)\implies x>\frac1y\implies xy>1$

$(2)$ Si $-\pi\le\arctan x+\arctan y<-\frac\pi2, \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)=\arctan x+\arctan y+\pi$

Observe que $\arctan x+\arctan y<-\frac\pi2\implies \arctan x,\arctan y<0\implies x,y<0 $

Sea $x=-X^2,y=-Y^2$

$\implies \arctan(-X^2)+\arctan(-Y^2)<-\frac\pi2$ $\implies \arctan(-X^2)<-\frac\pi2-\arctan(-Y^2)$ $\implies -X^2<\tan\left(-\frac\pi2-\arctan(-Y^2)\right)=\cot\arctan(-Y^2)=\cot\left(\text{arccot}\frac{-1}{Y^2}\right) $

$\implies -X^2<\frac1{-Y^2}\implies X^2>\frac1{Y^2}\implies X^2Y^2>1\implies xy>1 $

$(3)$ Si $-\frac\pi2\le \arctan x+\arctan y\le \frac\pi2, \arctan x+\arctan y=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Answer 2

Tienes razón en que está relacionado con el periodo. Tenga en cuenta, sin embargo, que mientras que el período no es importante para que la fórmula de adición de tan se mantenga, las funciones arc tan se definen restringiendo el rango a $(\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$ Si $uv>1 $ , $\arctan u +\arctan v$ no está en el rango de la función arctan(rama principal). En ese caso $\arctan \dfrac{u+v}{1-uv}$ no es la suma de los arctanes, está desplazada por $\pi$ arriba o abajo. Tenga en cuenta que $\tan(\arctan u +\arctan v)=\tan(\arctan \dfrac{u+v}{1-uv})$ independientemente de $uv<1$ .

Answer 3

Para explicar por qué $\arctan(u) + \arctan(v) = \arctan(\frac{u+v}{1-uv})$ sólo si $uv < 1$ tenemos que reconocer la restricción obvia de $$-\frac{\pi}{2} < \arctan(u) + \arctan(v) < \frac{\pi}{2}.$$

Consideraremos tres casos: $uv = 1$ , $uv > 1$ y finalmente $uv < 1$ .

Si $uv = 1$ (el caso trivial), $u$ y $v$ deben tener el mismo signo y $v = \frac{1}{u}$ . A partir de la identidad $\arctan(u) + \arctan(\frac{1}{u}) = \pm\frac{\pi}{2}$ :

$$\arctan(u) + \arctan(v) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{if $u, v > 0$}, \\[2ex] -\frac{\pi}{2}, & \text{if $u, v < 0$}. \\[2ex] \end{cases} $$

Sin embargo, $\arctan(\frac{u+v}{1-uv})$ es obviamente indefinido cuando $uv=1$ .

Si $uv > 1$ , ambos $u$ y $v$ debe tener el mismo signo otra vez. Debido al comportamiento de la desigualdad al dividir por un número negativo, considere primero la situación si $u, v > 0$ : $$uv > 1 \implies v > \frac{1}{u},$$ $$\arctan(u) + \arctan(\frac{1}{u}) = \frac{\pi}{2},$$ $$\therefore \arctan(u) + \arctan(v) > \frac{\pi}{2}.$$

Del mismo modo, si $u, v < 0$ , $$uv > 1 \implies v < \frac{1}{u},$$ $$\arctan(u) + \arctan(\frac{1}{u}) = -\frac{\pi}{2},$$ $$\therefore \arctan(u) + \arctan(v) < -\frac{\pi}{2}.$$

Por lo tanto, podemos ver que siempre que $uv > 1$ , $\arctan(u) + \arctan(v) \notin (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ .

Si $uv < 1$ , $u$ y $v$ pueden tener signos diferentes, pero podemos considerar simplemente $u > 0$ , $u < 0$ y $u = 0$ . Si $u > 0$ :

$$uv < 1 \implies v < \frac{1}{u},$$ $$\arctan(u) + \arctan(\frac{1}{u}) = \frac{\pi}{2},$$ $$\therefore \arctan(u) + \arctan(v) < \frac{\pi}{2}.$$

Del mismo modo, si $u < 0$ , $$uv < 1 \implies v > \frac{1}{u},$$ $$\arctan(u) + \arctan(\frac{1}{u}) = -\frac{\pi}{2},$$ $$\therefore \arctan(u) + \arctan(v) > -\frac{\pi}{2}.$$

Si $u = 0$ consideremos la ecuación original $\arctan(u) + \arctan(v) = \arctan(\frac{u+v}{1-uv})$ :

$$ \begin{align} LHS &= \arctan(0) + \arctan(v) \\ &= \arctan(v) \\ RHS &= \arctan(\frac{0+v}{1-0}) \\ &= \arctan(v) \\ &= LHS \end{align} $$

En resumen, hemos demostrado que $$-\frac{\pi}{2} < \arctan(u) + \arctan(v) < \frac{\pi}{2}$$ sólo es verdadera si $uv < 1$ .

Bonus: Para extender esto a la fórmula de sustracción de la arctangente, $$\arctan(u) - \arctan(v) = \arctan(u) + \arctan(-v)$$ $$\therefore u(-v) < 1 \implies uv > -1.$$

Answer 4

¿Qué es la $\arctan{s}+\arctan{t}$ ? Es la suma de dos ángulos: $\alpha+\beta$

Partiendo de la imagen, calculamos primero $h$ :

$$\frac{h}{s\times t}=s+t+h$$

Por lo tanto:

$$h=s\times t\frac{s+t}{1-s\times t}$$

Y:

$$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{h}{s\times t}$$

$$\alpha+\beta=\arctan{s}+\arctan{t}=\arctan{\frac{s+t}{1-s\times t}}$$

Answer 5

Una explicación más sencilla de por qué la identidad $$\arctan u+\arctan v=\arctan\dfrac{u+v}{1-uv}$$ es válido si y sólo si $uv <1$ .

Por definición de la función arctan, como ambos lados tienen la misma tangente, sólo tenemos que comprobar bajo qué condición $$-\frac\pi 2<\arctan u+\arctan v < \frac\pi2.$$ Sea $\alpha=\arctan u$ , $\beta=\arctan v$ . A priori, $\alpha+\beta\in(-\pi,\pi)$ y en este intervalo, $$\alpha+\beta \in\Bigl(-\frac\pi 2,\frac\pi 2\Bigr)\iff \cos(\alpha+\beta)>0$$ Ahora $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta(1-\tan\alpha\tan\beta)\\=\underbrace{\cos\alpha\cos\beta}_{>0}\,(1-uv)$$ tiene el signo de $1-uv$ .