¿Cómo puedo encontrar $\tan(\theta)$ tal que: $\frac{16}{\sin^6(\theta)} + \frac{81}{\cos^6(\theta)}=625$??

Question

¿Cómo puedo encontrar $\tan(\theta)$ tal que: $$\frac{16}{\sin^6(\theta)} + \frac{81}{\cos^6(\theta)}=625$ $?

Nota: utilicé alguna forma aumentaban pero lo siento no triunfó.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Uso titular desigualdad $$\left(\dfrac{16}{\sin^6{t}}+\dfrac{81}{\cos^6{t}}\right)(\sin^2{t}+\cos^2{t})^3\ge(2+3)^4$ $

se conoce el titular desigualdad $=$ iff $$\dfrac{2}{\sin^2{t}}=\dfrac{3}{\cos^2{t}}$ $

Answer 2

No puedo decir que esto es una solución elegante pero bueno,

voy a usar $s$ $sin$, $c$ $cos$ y $t$ para bronceado

Sabemos que $\frac{s}{c} = t$ que $\frac{16}{c^{6}t^{6}} + \frac{81}{c^{6}} = 625$ % dejó $16 + 81t^{6} = 625c^{6}t^{6}$sabemos que $ 1 + t^{2} = \frac{1}{c^{2}}$ o $16 + 81t^{6} = \frac{625*t^{6}}{(t^{2} +1)^{3}}$ simplificar da $81t^{12} + 243t^{10} + 243t^{8} + - 528t^{6} + 48t^{4} + 48t^{2} +16 = 0$ $y = t^{2}$ $81y^{6} + 243y^{5} + 243y^{4} + - 528y^{3} + 48y^{2} + 48y^{1} +16 = 0$ usando el teorema de la raíz racional, nos encontramos con que $\frac{2}{3}$ trabaja tan $\sqrt{\frac{2}{3}} = \boxed{\tan(x) = \frac{\sqrt{6}}{3}}$