Cómo encuentro la norma $|T|$ % T: $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$se define en $T(x) := Ax$, donde $A: =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $.
Estaba pensando en escribir $T(x_1,x_2,x_3)=(2x_2,x_1,3x_3)$ y $|T|$ = $((2x_2)^2+(x_1)^2+(3x_3)^2))^{1/2}$.
¿Encontrar $|T|$ como esta o no?
No. Por definición $$\|T\|_{2\to2} = \max_{\|x\|_2 = 1} \|Tx\|_2$ $ Ahora esta norma especial de operador se puede encontrar tomando la raíz cuadrada del valor propio más grande de$T^H T$.
En este caso, como$T$ es una permutación de una matriz diagonal, simplemente puede leerlo como$3$.
En primer lugar, $\|T\|$ es un número que describe el tamaño de la $3\times3$ matriz. No puede depender de cualquier coordinar $x_1,x_2,x_3$. Usted puede solucionar el problema por escrito $|T(x)|=((2x_2)^2+(x_1)^2+(3x_3)^2))^{1/2}$ y jugar con eso, pero te voy a dar una idea más elaborada respuesta.
Hay varias normas que se podría utilizar en el espacio de $3\times3$ matrices, y todos ellos son comparables entre sí. Supongo que te refieres a que el operador de la norma, que se define por $$ \|T\| = \max_{|x|=1}|Tx|. $$ Hay muchas definiciones equivalentes a cabo allí. (Generalmente, la definición es dada con el supremum y no el máximo, pero para un lineal mapa entre finito dimensionales espacios que el máximo se alcanza siempre.) También asumo que utilice el estándar de la norma Euclídea de los vectores.
Usted puede simplemente tomar esta restringida de la optimización de problema y tratar de resolverlo, pero hay una manera más sencilla. En lugar de simplemente indica el resultado, me explico cómo encontrarlo. Su matriz es tan simple que uno podría resolver el problema más rápido con un método diferente, pero un método que funciona tan fácilmente por cualquier $3\times3$ matriz puede ser más esclarecedor.
A partir de la definición que uno ve que $$ \|T\|^2 = \max_{|x|=1}|Tx|^2 = \max_{|x|=1}\langle x,T^\daga Tx\rangle, $$ donde ${}^\dagger$ representa la transposición. (El mismo argumento que en el caso complejo, así que si usted utiliza el conjugada transpuesta.) La matriz $T^\dagger T$ es simétrica, por lo que puede ser ortogonal diagonalized. Ortogonal transformaciones no cambiar las normas de los vectores y por lo tanto no cambie el operador de normas de matrices. El cambio de la base adecuadamente, podemos suponer $T^\dagger T$ a ser diagonal, decir $\text{diag}(a,b,c)$. Ahora $$ \langle x,T^\daga Tx\rangle = ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2 $$ y tenemos $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$. Espero que sea lo suficientemente claro ahora que $\|T\|^2$ es el mayor autovalor de a $T^\dagger T$. Por lo tanto, $\|T\|$ es la raíz cuadrada de la mayor autovalor de a $T^\dagger T$.
En su caso le ha $T^\dagger T=\text{diag}(1,4,9)$. El mayor autovalor de esto es 9, por lo $\|T\|=3$.
Lo voy a dejar como un ejercicio para comprobar que si las columnas de a $T$ son ortogonales (en lo que son ahora), a continuación, $T^\dagger T$ es la diagonal y los valores propios son los cuadrados de las normas de los vectores columna. Por lo tanto, $\|T\|$ es simplemente el más grande de la norma de los vectores columna. Su matriz ortogonal columnas, por lo $\|T\|=3$.
Nota: Me identifiqué $A$ $T$ en mi notación anterior y consideró $x$ a ser un vector columna. Si usted encuentra esta confuso, hágamelo saber y puedo intentar hacer una distinción entre la $A$$T$.
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