Producto del tensor de los operadores de Hadamard

Question

El operador de Hadamard sobre un qubit es:

\begin{align} H = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\,\left(\color{darkgreen}{|0\rangle + |1\rangle}\right)\color{darkblue}{\langle 0|}+\left(\color{darkgreen}{|0\rangle - |1\rangle}\right)\color{darkblue}{\langle 1|}\,\right] \end{align}

Muestran que:\begin{align} H^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x,y}(-1)^{x \cdot y}\,\left|x\rangle \langle y\right| \end{align}

Puedo evaluar cosas como $H \otimes H$ en la práctica, pero no sé cómo obtener una fórmula general para $H^{\otimes n}$. ¿Hay cualquier trucos que puedo usar?

Answer 1

La palabra clave aquí es inducción matemática: Supongamos que la fórmula tiene $n$ y muestran que por lo tanto sostiene $n+1$. Si usted además demostrar que tiene $n=2$, han demostrado la fórmula general para arbitrario $n$.

Answer 2

Esto puede ser mostrado directamente. La definición que puede considerarse como la versión sola-qubit de su blanco, $$ H = \frac {1} {\sqrt {2}} \sum_ {x_1, y_1}(-1) ^ {x_1 y_1} | x_1 \rangle\langle y1. $$ $n$-Qubit se trata entonces $$\begin{align} H^{\otimes n} &=\frac{1}{\sqrt{2^n}} \left(\sum{x_1,y_1}(-1)^{x_1 y_1}| x_1 \rangle\langle y1 |\right) \otimes\cdots\otimes \left(\sum{x_n,y_n}(-1)^{x_n y_n}| x_n \rangle\langle yn |\right) \& =\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum{x_1,\ldots,xn}{y_1,\ldots,y_n} (-1)^{x_1 y_1}\cdots(-1)^{x_n y_n} | x_1 \rangle \otimes\cdots\otimes | x_n \rangle \langle y_1 | \otimes\cdots\otimes \langle yn | , \end {Alinee el} $$ mediante la ampliación de la suma. La única diferencia entre este y su meta, H$ ^ {\times n} = \frac {1} {\sqrt {2 ^ n}} \sum {x, y}(-1) ^ {x \cdot y} | x \rangle\langle y |, $$ es de notación.