¿Cuando la función de la planta tiene un límite y cuando no?

Question

Me han preguntado para que diga en qué puntos en $\mathbb R$ el límite no existe.

$$\lim_{x\to x_0}\lfloor x\rfloor$$

Ahora, he estado pensando acerca de la primera muestra que el límite existe en todas las $x\in(\mathbb R / \mathbb Z)$

En fin, he intentado mostrar que, para cada $\epsilon>0$, puedo encontrar una $\delta>0$, de modo que la definición de stands. Pensé acerca de la elección de $\delta=\frac12\left(x-\lfloor x\rfloor\right)$, de modo que, de hecho, yo siempre se puede encontrar una $\delta$ lo suficientemente pequeño como para quedarme en mi entorno.

Estoy teniendo dificultades para la formalización de eso. Además, sé que $\delta$ no debe depender de $x$.

¿Dónde puedo ir desde allí?

Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que la función $x\to \lfloor x\rfloor=n$ es por trozos constante: si $x\in [n,n+1)$ $n\in\mathbb{Z}$ y $\lfloor x\rfloor=n$.

Por lo tanto, si $x_0\not\in\mathbb{Z}$, $\epsilon>0$ y $\delta:=\frac12\min\left(x_0-\lfloor x_0\rfloor,1+\lfloor x_0\rfloor-x_0\right)>0$, si $0