Una curiosa fórmula de producto

Question

Jugar con Mathematica parece sugerir lo siguiente:

ps

¿Alguien tiene una explicación o referencia para esto, o sabe cómo continúa la serie? El próximo término parece estar alrededor de$$\frac{(2^2)(4^2)(6^2)\cdots(2N^2)}{(1^2)(3^2)(5^2)\cdots(2N-1)^2}=N\pi+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{32N}-\frac{\pi}{128N^2}+o(1/N^2).$.

Answer 1

El primer término es $r^2$ donde $$r=\frac{2\cdot 4\cdots (2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}=\frac{(2\cdot 4\cdots (2n))^2}{(2n)!}=\frac{4^nn!n!}{(2n)!}=\frac{4^n}{{2n\choose n}}$$

Ahora, ${2n \choose n}$ es la central de coeficiente binomial, el cual se sabe que aproximadamente el $\large \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ grandes $n$.

Por lo tanto $r^2\approx \pi n$. Se están estudiando más de los términos de la aproximación (luego cuadratura). Usted puede obtener muchos términos como te gusta por el uso de los términos de la Stirling serie de aproximar el factoriales.

Answer 2

Esto es similar al famoso producto Wallis , descubierto por John Wallis hace tres o cuatro siglos, y puede verse como un caso especial del producto infinito de Euler para la función seno . $$\frac{\sin\pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)$$ Take $ x = \ frac12 $, y la identidad de Wallis sigue.