¿Cómo mostrar $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ convergen al mismo límite $\sqrt 2$?

Question

<blockquote> <p>Que $a_1=2$ y $b_1=1$ y $n \geq 1$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$. Muestran que el % de secuencias $\{a_n\}$y $\{b_n\}$ convergen al mismo límite $\sqrt 2$.</p> </blockquote> <p>prueba: deje $a_n$ converge a $a$ y $b_n$ converge a $b$. Para recibir $a=\dfrac{a+b}{2}, b=\dfrac{2ab}{a+b}$ y $a=b$ pero cómo muestro $a=b=\sqrt2$</p>

Answer 1

Sugerencia: Demuestran que el límite de $\frac{a{n+1}}{b{n+1}}$ $1$ cuando $n\to \infty$ a ver que son asintóticamente convergentes.

Answer 2

Consejo: Mostrar primer que $a_nb_n=2$ % todos $n$. A continuación mostramos que $an>a{n+1}>b_{n+1}>b_n$ % todos $n$. La desigualdad de AM-GM puede ser útil.