$f(z)= \frac{z}{1-e^{-z}}$ $\Leftrightarrow$ $\forall n \ge 0$ y $n\in\mathbb{Z}$, coeficiente de $z^n$ $f^{n+1}(z)$#%.

Question

Cómo probar que si $f(z)$ es analítica en la región de origen, entonces $f(z)= \frac{z}{1-e^{-z}}$ $\Leftrightarrow$ $\forall n \ge 0$ y $n\in\mathbb{Z}$, el coeficiente de $z^n$$f^{n+1}(z)$$1$.

Trato de usar la expansión de $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$, y calcular el coeficiente de $z^n$$(\sum_{m=0}^{\infty}a_n z^m)^{n+1}$. De esta manera, se puede calcular explícitamente el primer par de $a_n$.

$n=0 \Rightarrow a_0=1$

$n=1 \Rightarrow 2 a_1 a_0 =1 \Rightarrow a_1=1/2$

$n=2 \Rightarrow 3 a_2 a_0^2 + 3 a_1^2 a_0 =1 \Rightarrow a_2=1/12$

$\cdots$

Sin embargo, parece implicar un complicado partición y la combinación de problema al $n$ es grande. Que es, en primer lugar, tratar de encontrar la partición, $\forall i, x_i\in \mathbb{Z}$ $x_i\ge0$ $$x_1+x_2+\cdots +x_{n+1}=n\tag{1}$$ luego de resolver la iteración de la función $$\sum_{\{x_i\}} \prod_{i=1}^{n+1} a_{x_i}=1\tag{2}$$ con $\sum_{\{x_i\}}$ significa que la suma sobre todos los de la configuración de $\{x_1,\cdots, x_{n+1}\}$ tal que $(1)$ mantiene.

Cómo probar la solución de $a_n$ se refiere a los números de Bernoulli(he.e $a_n=(-1)^n B_n/n!$ ya que en esta pregunta, resulta que $f(-z)=\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty B_n z^n/{n!}$)? O por otro método para demostrar la anterior afirmación?

Answer 1

El coeficiente de $[z^n]$ puede ser calculada mediante la integración de $f(z)/z^{n+1}$ a lo largo de un circuito cerrado de contorno sinuoso acerca de $z=0$. Por simplicidad, vamos el contorno de un círculo $|z|=\epsilon$ $\epsilon$ ser lo suficientemente pequeño como para que sólo el polo $z=0$ está dentro del contorno: $$ [z^n]=\frac{1}{2\pi i}\cualquier\limits_{|z|=\epsilon}\frac{dz}{(1-e^{-z})^{n+1}} \stackrel{u=1-e^{-z}}{=}\frac{1}{2\pi i}\cualquier\limits_{C_\epsilon} \frac{du}{(1-u)u^{n+1}}=1, $$ como el residuo de la función integrada en el último integral a $u=0$ es de 1, lo cual es evidente a partir de la representación $$ \frac{1}{(1-u)u^{n+1}}=\frac{1}{u^{n+1}}\sum_{i=0}^\infty u^i, $$ válido para $|u|<1$. Así, el reclamo está probado.

El contorno de $C_\epsilon$ es la imagen de $z=\epsilon e^{i\phi}$: $$u(\phi)=1-e^{-\epsilon e^{i\phi}}=1-e^{-\epsilon\cos\phi}[\cos(\epsilon\sin\phi)-i\sin(\epsilon\sin\phi)], $$ que es, a condición de que $\epsilon<\pi$, un simple y cerrada curva sinuosa hacia la izquierda acerca de la $u=0$, con la distancia al origen variando de $1-e^{-\epsilon}$$\phi=0$$e^{\epsilon}-1$$\phi=\pi$. Por lo tanto, el punto de $u=1$ está fuera del contorno.

Answer 2

SUGERENCIA:

Creo que tiene que ver con la fórmula de inversión de Lagrange para la serie de encendido.

La ecuación equivalente que escribió es: el residuo de $(\frac{1}{1-e^{-z}})^{k}$ es $1$ % todos $k\ge 1$. Ahora puede toma $f(z)= 1-e^{-z}$ y calcula su inversa formal. Os dejo los detalles.