Esta pregunta procede de Dugundji $\textit{Topology}$ : Dado un espacio compacto y conexo $X$ , dejemos que $A \subset X$ estar cerrado. Demostrar que existe un conjunto cerrado y conexo $B \subset X$ tal que $A \subset B$ y cualquier subconjunto adecuado de $B$ no está conectada, no está cerrada o no contiene $A$ . El texto tiene la molesta costumbre de no indicar si se supone que el espacio es Hausdorff.
Mi intento de demostración parece funcionar para los espacios de Hausdorff, pero no se basa fundamentalmente en muchas de las hipótesis y parece poco elegante.
Si tal $B$ no existe, entonces para cualquier $B$ que está conectado, cerrado y contiene $A$ existe un $B' \subset B$ que también cumple esas condiciones. Es evidente que $X$ es un ejemplo de conjunto que cumple las condiciones, por lo que existe al menos un conjunto de este tipo. Ordenar subconjuntos de $X$ que están cerradas, conectadas y contienen $A$ por inclusión inversa (es decir $U > V$ si $U \subset V$ y $U \neq V$ ). Cada cadena de subconjuntos tiene un límite superior: sea $B_i$ cumplan las hipótesis y que $B_{n+1} \subset B_n$ . Entonces $B_N = \cap_1^\infty B_i$ es claramente cerrado y contiene $A$ . Por el resultado aquí mencionado: ¿Intersección arbitraria de subconjuntos cerrados y conexos de un espacio compacto conexo? , $B_N$ está conectado si $X$ es Hausdorff. Por lo tanto $B_N$ es un límite superior para la cadena $\{B_i\}$ . Por el Lemma de Zorn, esta colección tiene un elemento maximal, que tendría que ser el conjunto $B$ necesario.
No he podido encontrar un contraejemplo entre los espacios que no son de Hausdorff, así que me encantaría ver uno o una demostración del caso general. Además, la hipótesis de que $A$ está cerrado no se utiliza en ninguna parte aquí.
Me encantaría ver los intentos de alguien con este problema.
