La continuidad de una variable de una derivada parcial implica diferenciabilidad?

Question

Estoy interesado en un determinado instacne de los fenómenos

"Derivadas parciales + (Un cierto grado de) la continuidad" implica differentiablilty. Mi caso supone menos regularidad que de costumbre:

Deje $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$.

Suponga que las derivadas parciales de $f$ con respecto al $x$ $y$ existen en el punto de $(x_0,y_0)$ y uno de ellos existe y continua w.r.t a la otra variable (por ejemplo la función de $y \mapsto\frac{\partial{f}}{\partial x}(x_0,y)$ es continua en el punto de $y_0$).

Es cierto que $f$ es diferenciable en a $(x_0,y_0)$?

Nota: se sabe que si ambas derivadas parciales existe, y uno de ellos es continua (como funciones de dos variables), a continuación, $f$ es diferenciable. (Para una prueba de ver aquí).

Sin embargo, la prueba de los usos:

1) La existencia de $\frac{\partial{f}}{\partial x}$ en algunas de pelota alrededor de $(x_0,y_0)$

(Supongo que sólo $\frac{\partial{f}}{\partial x}$ existe en $\{x_0\} \times (y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$).

2) La continuidad de $(x,y) \mapsto \frac{\partial{f}}{\partial x}(x,y)$$(0,0)$.

(Supongo que sólo la continuidad de la $\frac{\partial{f}}{\partial x}(x_0,y)$).

Answer 1

Esto es falso.

Contraejemplo, en el punto de $(x_0,y_0)=(0,0)$: $$f(x,y) = \begin{cases} x^3/y, & y\neq 0 ,\\ 0, & y=0 . \end{casos}$$ Esta función satisface las hipótesis:

• $f_y(0,0)=0$ (desde $f$ es constante a lo largo de la $y$ eje: $f(0,y)=0$ todos los $y$), así, en particular, $f_y(0,0)$ existe.
• $f_x(0,y) = 0$ todos los $y$ (dado que la restricción de $f$ a una línea de $y=c$ es idéntica a cero o un número constante de veces $x^3$, que tiene cero la derivada en el origen), de manera que la única función de variable $y \mapsto f_x(0,y)=0$ es continua.

Pero $f$ ni siquiera es continua en el origen, por lo tanto no diferenciable allí.