Producto cartesiano de conjuntos compactos es compacto

Question

Demuestra que si dos conjuntos $A$ y $B$ son compactos, entonces también lo es su producto cartesiano $A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}$.

La pista es utilizar el teorema de Bolzano-Weierstrass y un argumento de secuencia para demostrar la afirmación.

Answer 1

De hecho, hay una prueba topológica usando la definición de compacidad por cubiertas abiertas.

Sean $A$ y $B$ conjuntos compactos y $\{O_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ una cubierta abierta de $A \times B$. Para cada $(a,b) \in A \times B$, podemos elegir algún $\lambda = \lambda(a,b)$ tal que $(a,b) \in O_{\lambda(a,b)}$. Por construcción, $O_{\lambda(a,b)}$ es abierto, por lo tanto el punto $(a,b)$ está contenido en alguna caja abierta $X \subset O_{\lambda(a,b)}$ donde $X = U_{(a,b)} \times V_{(a,b)}$, donde $U_{(a,b)} \subset A$ y $V_{(a,b)} \subset B.

Supongamos que fijamos $a$ y variamos $b$. Entonces para cada punto $(a,b)$ encontramos que el punto está contenido en una caja abierta en el producto $A \times B$, y esa caja es entonces el producto de un subconjunto de $A$ con un subconjunto de $B$. Procediendo de esta manera, observamos que la colección de conjuntos $\{V_{(a,b)}\}_{b\in B}$ es una cubierta abierta de $B$. Dado que por hipótesis $B$ es compacto, podemos encontrar una cubierta finita $\{V_{(a,b_j(a))}\}$ de $B$ que consiste en un número finito de conjuntos abiertos que contienen puntos $\{(a,b_j(a))\}$.

Ahora sea $U_a = \bigcap_j U_{(a,b_j(a))}$. Dado que $U_a$ es la intersección de un número finito de conjuntos abiertos, es abierto. Dado que $A$ es compacto, hay un número finito de $a_i$ tal que $\{U_{a_i}\}$ forma una cubierta abierta de $A. Entonces se sigue que la colección de conjuntos $\{O_{(a_i,b_j(a_i))}\}$ (para todas las combinaciones de $i,j$) es una cubierta finita de $A \times B$, entonces $A \times B$ es compacto.

Answer 2

Un conjunto $S$ es compacto si de cualquier secuencia de elementos en $S$ se puede extraer una subsecuencia con un límite en $S$.

Si nos dan una secuencia $(u_n)$ de $A \times B$, entonces puedes escribir $u_n=(a_n,b_n)$. Dado que $A$ es compacto, puedes encontrar una subsecuencia $(a_{f(n)})$ con un límite en $A$. Luego, dado que B también es compacto, puedes extraer una subsecuencia $(b_{f(g(n))}) de $(b_{f(n)})$ con un límite en B. Por lo tanto, la subsecuencia $(u_{f(g(n))}) de $(u_n)$ tiene su límite en $A \times B$. Esto demuestra que $A \times B$ es compacto.

Espero que puedas entender mi explicación, ya que todavía estoy aprendiendo inglés.

Answer 3

La siguiente demostración está adaptada de Topology de Munkres (página 167), y funciona para espacios topológicos también. Utilizaremos la siguiente afirmación, que es importante por sí misma:

Lema (El lema del tubo). Supongamos que $X$ e $Y$ son espacios topológicos, $Y$ es compacto, y $x_0\in X$. Si $N$ es un conjunto abierto de $X\times Y$ tal que $\{x_0\}\times Y\subseteq N$, entonces hay un entorno abierto $W$ de $x_0$ en $X$ tal que $\{x_0\}\times Y\subseteq W\times Y\subseteq N$. (El conjunto $W\times Y$ se llama a menudo un tubo alrededor de $x_0\times Y$.)

La demostración del lema del tubo se encuentra en Munkres.

Teorema. Si $X$ e $Y$ son espacios topológicos compactos, entonces $X\times Y$ es compacto.

Prueba. Sea $\mathcal{A}$ un recubrimiento abierto de $X\times Y$, y sea $x_0\in X$. La "rebanada" $\{x_0\}\times Y$ es homeomorfa a $Y$, por lo que es compacta. Dado que $\mathcal{A}$ también es un recubrimiento abierto de $\{x_0\}\times Y$, hay conjuntos $A_1,\dots,A_m\in\mathcal{A}$ tales que $\{x_0\}\times Y\subseteq A_1\cup\dots\cup A_m$. Aplicando el lema del tubo con $N=A_1\cup\dots\cup A_m$, obtenemos un entorno abierto $W$ de $x_0$ tal que $\{x_0\}\times Y\subseteq W\times Y\subseteq A_1\cup\dots\cup A_m$. Así hemos establecido la siguiente afirmación:

Para cada $x\in X$, hay un entorno abierto $W$ de $x$ tal que $W\times Y$ puede ser cubierto por un número finito de conjuntos en $\mathcal{A}$.

Por el axioma de elección, esto significa que hay una función $x\mapsto W_x$ que lleva cada $x\in X$ a un entorno abierto $W_x$ de $x$ con la propiedad mencionada.

El resto de la prueba es sencillo. Dado que $\mathcal{W}=\{W_x:x\in X\}$ es un recubrimiento abierto de $X$, por la compacidad de $X$ existen conjuntos finitos $W_1,\dots,W_n\in\mathcal{W}$ tales que $X=W_1\cup\dots\cup W_n$. La unión de los conjuntos $W_1\times Y,\dots,W_n\times Y$ es $X\times Y$, y dado que cada $W_i\times Y$ puede ser cubierto por un número finito de conjuntos en $\mathcal{A}$, todo $X\times Y$ admite un subrecubrimiento finito.

Answer 4

Si $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro en $X\times Y$, entonces cada proyección $\pi_1\mathscr{U}$ y $\pi_2\mathscr{U}$ converge a al menos un punto $x\in X$ y al menos un punto $y\in Y$, respectivamente, ya que estos espacios son compactos. Entonces es fácil ver que $\mathscr{U}$ converge a $(x,y)$; los entornos de $(x,y)$ necesariamente contienen conjuntos de la forma $V\times W$ donde $V,W$ son entornos abiertos de $x,y$ y estos están contenidos en $\pi_{1,2}\mathscr{U}$, respectivamente, por definición de convergencia; en otras palabras, tanto $V\times Y$ como $X\times W$ son elementos de $\mathscr{U}$ por lo que su intersección finita $V\times W$ también está en $\mathscr{U}$; por lo tanto, el entorno original de $(x,y)$ es un elemento de $\mathscr{U}$, usando los axiomas de un filtro.

Porque hemos establecido que cada ultrafiltro en $X\times Y$ es convergente, se sigue que $X\times Y$ es compacto. Esto se generaliza, casi textualmente, a una demostración del teorema de Tychonoff general que cualquier producto de espacios compactos es compacto.