Dado 2 mapas lineales T, S y $T^2 = S^2$. ¿Necesariamente significa T = S o T S =?

Question

Estoy dado de 2 mapas lineales: $T,S$, tanto de $V$ $V$, $T^2 = S^2$ de satisfacción.

$T,S \ne id$ y $T,S \ne 0$.

¿La pregunta dada es: necesariamente significa que el $T=S$ o $T=-S$? (o no tanto?). ¡Probar!

Creo que esto no es necesariamente cierto, pero no puedo encontrar un contraejemplo para apoyar mi afirmación.

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

No es verdad. Que $V=\mathbb R^3$ y $T(x,y,z) = (x,-y,z)$, $S(x,y,z)=(x,y,-z)$ tener en cuenta. Ahora $S^2=T^2=I$, $S\neq T$ y $S\neq -T$.

Answer 2

No.

Sugerencia: Pensar en los operadores definidos en $Tv=Av,Sv=Bv$ % diagonal $A,B$$\pm1$en la diagonal. ¿Puede usted construir un ejemplo contrario?

Answer 3

Por definición el cuadrado de cada simetría es la identidad por lo tanto, el caso donde $T$ y $S$ son simetrías refuta que $T=\pm S$, decir $T=\begin{pmatrix}1 & 0\ 0 & -1\end{pmatrix}$ y $S=\begin{pmatrix}0 & 1\ 1 & 0\end{pmatrix}$.