Problema de matriz, poderes

Question

1) ¿por Qué es cierto que hay una bola en $M_n$ centrado en la matriz de identidad y una función continua $f$ definidos en este open de bola s.t. $f(M)^2=M$ $M$ en la pelota?

2) la Ampliación de la pregunta un poco: ¿Estaría en lo correcto al pensar que no podemos hacer lo mismo para cualquier matriz $M\in M_n$ considerando $n=1$ esto claramente no para los números negativos?

3) ¿Qué acerca de los poderes superiores? El caso de $n=1$ claramente funciona para todos los impares poderes. Pero no para el. Pero tal vez no es un obstáculo para los extraños poderes demasiado?

Gracias.

Answer 1

Que $p\geq 2$. Podemos escribir como una serie de energía de radio de convergencia $(1-x)^{\frac 1p}=\sum_{n=0}^{+\infty}anx^n$ $1$. Poner $f(M):=\sum{n\geq 1}^{+\infty}a_n(I-M)^n$. Esta serie es normalmente convergente en $B\left(I,\frac 12\right)$ y el producto de Cauchy podemos ver que $f(M)^p= I-(I-M)=M$ cada $M\in B\left(I,\frac 12\right)$.
Como @Joel, no funciona si sustituimos $I$ por un punto de otro.