Número de triángulos equiláteros en una cuadrícula triangular cubiertos por un círculo de radio 1

Question

Aquí hay un problema que vi:

¿Cuántos triángulos equiláteros (con longitud $1$ cm) en una cuadrícula de triángulos se puede cubrir con un círculo centrado en un punto con radio $r$ ¿Cm?

Al principio pensé que la respuesta es $r^2\times 6$ pero luego me enteré de que es sólo para los pequeños $r$ .

Por ejemplo:

Aquí la parte gris es la respuesta, pero si el círculo se hace más grande, la parte naranja podría cubrir algunos triángulos, lo que hace que la respuesta sea diferente.

¿Puede alguien ayudarme con ello? Quiero una fórmula para al menos $1\leq r\leq 100000$ . Gracias.

Answer 1

Para encontrar el número de triángulos en la parte naranja, primero determinamos cuántos niveles $L$ de triángulos que puede contener. En la figura siguiente hay un ejemplo en el que $r=9$ y $L=1$ :

El número de niveles es simplemente el número de veces la altura de un triángulo $h=\frac {\sqrt 3}{2}$ encaja en la distancia $|AB|$ y como $|AB|=r-d = r- \frac {\sqrt 3}{2}r$ obtenemos:

$$L=\left \lfloor \frac{|AB|}{h} \right \rfloor =\left \lfloor \frac{2-\sqrt 3}{\sqrt 3}r \right \rfloor$$ Con $r=9$ vemos que $L=1$ . Para encontrar el número de triángulos en cada nivel, necesitamos encontrar la longitud de la cuerda que delimita ese nivel. En la figura anterior, la cuerda que delimita el primer (y único) nivel se muestra en verde. La longitud de una cuerda viene dada por: $$c=2\sqrt{r^2-d_O^2}$$ donde $d_O$ es la distancia de la cuerda al centro del círculo $O$ . Así, para un nivel determinado $k \le L$ tendríamos una longitud de cuerda de $$c_k = 2\sqrt{r^2-(d+k\cdot h)^2}$$ Entonces, ¿cómo determinamos el número de triángulos $t_k$ en un nivel, dada la longitud del acorde? Depende de hacia dónde apunte el triángulo central del nivel. Si apunta en dirección contraria al círculo central (como en la figura anterior) tenemos

$$t_k = \begin{cases} 1, & c_k \lt 2 \\ 5, & 2 \le c_k \lt 4 \\ 9, & 4 \le c_k \lt 6 \\ \text{etc} \end{cases}$$

y si apunta hacia el centro del círculo tenemos

$$t_k = \begin{cases} 0, & c_k \lt 1 \\ 3, & 1 \le c_k \lt 3 \\ 7, & 3 \le c_k \lt 5 \\ \text{etc} \end{cases}$$

El patrón de cálculo $t_k$ en cada caso, debe quedar claro.

El primer nivel "señala" si $r$ es impar y "apunta hacia" si $r$ es uniforme. Los niveles posteriores, por supuesto, alternan entre ambos. A continuación se muestra una figura con $r=18$ y por lo tanto $L=2$ :

Vemos que el primer nivel apunta hacia el centro del círculo.

Así que, para resumir:

1. Determinar el número de niveles

2. Suma el número de triángulos en cada nivel

3. Añada esta suma a $r^2$

4. Multiplique este número por $6$ .

Hice un programa en Visual Basic que hace el trabajo en algunos $30$ líneas de código.