Demostrando que el género de una curva del plano nonsingular es $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$

Question

Estoy estudiando de Joseph Silverman el libro de La Aritmética De Curvas Elípticas y yo estoy tratando de hacer tantos ejercicios como puedo. Ahora mismo estoy tratando de hacer Ejercicio 2.7 del capítulo II, que se lee como sigue.

Deje $f(X, Y, Z) \in K[X, Y, Z]$ ser un polinomio homogéneo de grado $d \geq 1$ y suponga que la curva de $C$ $\mathbb{P}^2$ dado por la ecuación de $F = 0$ es nonsingular. Demostrar que $$ \text{género}(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} $$

El Ejercicio tiene un toque que me dice que para definir un mapa de $C \rightarrow \mathbb{P}^1$ y usar el Teorema II.5.9 de ese mismo capítulo. Para la integridad puedo incluir el Teorema.

Teorema 5.9 (Hurwitz) Deje $\phi : C_1 \rightarrow C_2$ ser un no constante separables mapa de curvas suaves de géneros $g_1$$g_2$, respectivamente. Entonces $$ 2g_1 - 2 \geq (\gr{\phi})(2g_2 - 2) + \sum_{P \en C_1} (e_\phi (P) - 1) $$ Además, la igualdad ocurre si y sólo si uno de los dos siguientes condiciones se tiene:

1. $\text{char}(K) = 0$
2. $\text{char}(K) = p > 0$ $p$ no divide $e_\phi (P)$ todos los $P \in C_1$.

Mis intentos

Yo considero que un mapa de $\phi : C \rightarrow \mathbb{P}^1$, que tiene la forma $\phi = [f, g]$ algunos $f, g \in K[X, Y, Z]$ homogéneas del mismo grado. Desde $\mathbb{P}^1$ género $0$ la igualdad se convierte en $$ 2 \text{género}(C) - 2 = -2\gr{\phi} + \sum_{P \in C} (e_\phi (P) - 1) $$

así que $$ 2 \text{género}(C) = 2 - 2\gr{\phi} + \sum_{P \in C} (e_\phi (P) - 1) $$

y tenemos que demostrar que $2 - 2\deg{\phi} + \sum_{P \in C} (e_\phi (P) - 1) = (d-1)(d-2)$. También he probado a usar la fórmula de la Proposición 2.6 en el Capítulo II del libro, que para este caso particular nos dice que

$$ \sum_{P \en \phi^{-1} (Q)} e_{\phi} (P) = \gr{\phi} $$

para cualquier punto de $Q \in \mathbb{P}^1$.

A continuación, el uso de este obtenemos

$$ 2 \text{género}(C) = 2 - 2\sum_{P \en \phi^{-1} (Q)} e_{\phi} (P) + \sum_{P \in C} (e_\phi (P) - 1) $$

para algunos el punto de $Q \in \mathbb{P}^1$. Ahora el problema para mí es que no estoy muy seguro de cómo se relacionan el grado $d$ del polinomio que define la curva de $C$ a los importes. También me pregunto cómo puede ser posible calcular los ramificación de los índices de las sumas de dinero porque tengo la sospecha de que eran reside el problema.

Si es de alguna ayuda, sé que podemos identificar cualquier mapa de $\phi : C \rightarrow \mathbb{P}^1$ con una función en $K(C)$ o con la constante mapa de $\infty = [1, 0]$. Estaba pensando que tal vez hay una manera para mí para obtener el grado de $d$ a venir a jugar aquí, pero hasta ahora estoy atascado y me he quedado sin ideas.

Preguntas

Así que yo aprecio mucho algunos consejos y asesoramiento sobre cómo proceder con este ejercicio. Yo no estoy buscando una solución completa, pero para algunos consejos y sugerencias que pueden guiarme en la dirección correcta.

Lo siento por el largo post, sé que no va a llegar a muchas personas a leer, pero estoy tratando de obtener el máximo provecho del ejercicio.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Permítanme sugerir un mayor enfoque geométrico de la que usted está usando:

Deje $C$ ser su grado de $d$ plano de la curva. Elija un punto de $P$ no $C$, y no en el $x$-eje. Deje $\mathbb P^1$ $x$- eje.

Ahora vamos a $\phi:C \to \mathbb P^1$ ser la proyección de $P$ $x$- eje, es decir, dado cualquier punto de $Q$$C$, dibujar una línea de$P$$Q$, y ver donde se intersecta con el $x$-eje; ese punto es el valor de $\phi(Q)$.

Este será un mapa de grado $d$ (si se toma un punto de $R$ $x$- eje, y el conde ¿cuántos puntos se encuentran en su preimagen, se dibuja la línea a través de $P$$R$, y la cuenta de cuantas veces esta se cruza con $C$; la respuesta va a ser $d$ tiempos, debido a $C$ es de grado $d$).

Ahora se puede aplicar la definición de la integral--Hurwitz fórmula; el único problema es que trabajar en los puntos de ramificación.

La ramificación se produce cuando la línea a través de $P$ $Q$ tiene múltiples intersección con $C$$Q$, es decir, es tangente a $C$$Q$. Si usted elige todo lo que de forma genérica (por ejemplo, elija $P$ genéricamente, y/o cambio de coordenadas de modo que $C$ está en una posición general con respecto a la $x$-eje), entonces estos las intersecciones de multiplicidades nunca será más de $2$ (es decir, usted recibirá tangencies, pero nunca de orden superior tangencies), y por lo $e_{\phi}(Q)$ será $1$ (si la línea a través de $P$ $Q$ no es tangente a $C$$Q$) o $2$ (si la línea a través de $P$ $Q$ es tangente a $C$$Q$).

Ahora usted tiene que averiguar cuántas veces un tangencia se produce.

Por supuesto, usted puede trabajar esto suponiendo que la respuesta (es decir, que $g(C) = (d-1)(d-2)/2$, y trabajando hacia atrás). Yo sugiero que usted también escribir abajo explícito cónica, como $x^2 + y ^2 = 1$, y luego tal vez una mayor grado de la curva y, concretamente, de aplicar las anteriores procedimiento y ver directamente cómo muchos puntos de tangencia se producen. Después de hacer todo esto, que usted podrá averiguar en general, ¿cuántas $Q$s hay para que la línea de a través de $P$ es tangente a $C$, y también ver cómo demostrar que lo que han trabajado es la correcta.

Para llenar en todos los detalles que se necesitan para hacer la "situación general" argumento anterior riguroso, o enfrentar la posibilidad de una orden superior de tangencia (es decir, el caso de al $e_{\phi}(Q) > 2$). Pero me preocuparía de eso más tarde, después de entender la geometría básica de la situación.