Casi todos los subgrupos de un grupo de Lie son gratis

Question

Actualmente estoy leyendo este papel por el virus de Epstein. Necesito ayuda con la comprensión de la prueba. En concreto, tengo las siguientes dos preguntas.

1. Deje $w\colon G\to H$ ser una analítica de asignación entre conectada Mentira grupos $G$$H$. ¿Cómo podemos demostrar que la preimagen de un punto es el conjunto de $G$ o ha Haar medida cero en $G$? El documento señala que se debe tomar $G$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^m$ y el uso de la inducción en $m$ y el teorema de Fubini, pero esto en realidad no me convence (no puedo llenar los detalles).
2. Todo el papel parece asumir que $G$ es analítica colector, mientras que el habitual suposición es que la Mentira de grupo es suave colector. ¿Significa esto que el resultado de que el papel se mantenga sólo para verdaderos-analítica de la Mentira de los grupos, o esta suposición no es en realidad una restricción y de alguna manera también tenemos la reclamación por el clásico real Mentira grupos?

Edit: en Realidad, con respecto a (1), no veo por qué la costumbre $t\in\mathbb{R}\mapsto e^{-1/t^2}1_{t>0}\in\mathbb{R}$ no es un contraejemplo.

Answer 1

Intente esto:

El trabajo en el espacio Euclidiano y escribir $w=(w^1(x_1,...x_n),...w^m(x_1,...,x_n))$. Escribir $w^i$ como una potencia de la serie en $x_n$ con coeficientes como la potencia de la serie en el resto de variables: $$w^i=\sum_j c_j(x_1,...,x_{n-1})x_n^j$$

Entonces por Fubini, si $w^i$ se desvanece en un conjunto de medida positiva, existe un conjunto de medida positiva $A\subset \mathbb{R}^{n-1}$ tal que para cualquier $\overline{a} \in A$, la analítica de la función $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto w^i(\overline{a}, t)$ se desvanece en un conjunto de medida positiva. Pero entonces esto $w^i(\overline{a}, \cdot )$ se desvanece de forma idéntica, de modo que cada coeficiente de $c_j$ se desvanece en $A$. Luego, por inducción, cada una de las $c_j$ es idéntica a cero en $\mathbb{R}^{n-1}$, por lo que el $w^i$ es idéntica a cero.