Coordenadas del cono de luz

Question

El coordenadas del cono de luz se definen como

$$x^{\pm} ~=~\frac{x^0 \pm x^3}{\sqrt{2}}.$$

Entonces en las coordenadas del cono de luz el vector 4 de posición pasa a ser: $(x^+, x^-, x^1, x^2)$ .

Zwiebach, en su Un primer curso de teoría de cuerdas [Segunda edición, página 25], dice que: No existe ninguna transformación de Lorentz que tome las coordenadas $(x^0, x^1 , x^2 , x^3)$ en coordenadas $(x^+, x^-, x^1, x^2)$ .

¿Por qué? ¿Cuál es la razón de esto?

Answer 1

Si calculas $|(dx^+)^2 - (dx^-)^2|$ no encontrará $ |(dx^0)^2 - (dx^3)^2|$ . Por lo tanto, no se puede obtener $x^+,x^-$ (incluso con una normalización diferente) de $x^0,x^3$ por una transformación de Lorentz. Ninguna de las coordenadas $x^+,x^-$ es de tiempo, o de espacio, ambos son de luz, y la métrica es $2 dx^+dx^-= (dx^0)^2 - (dx^3)^2$

Answer 2

Para mayor claridad, el intervalo $$ds^2 = 2dx^{+}dx^{-} - dx_2^2 - dx_3^2 = 0$$ ya que el intervalo es siempre cero para los intervalos de tipo luz, y la métrica del espacio plano de Minkowski de tipo luz es tal que $$\eta_{12} = \eta_{21} = -1,\,\ \eta_{33} = \eta_{44} = 1$$ y todos los demás elementos 0.