Anillo conmutativo y anticonmutativo que respeta $x^2 = 0$ , donde $0$ es la identidad aditiva

Question

¿Puede alguien presentar un ejemplo en el que un anillo esté formado por infinitos conjuntos/elementos diferentes en un universo (anillo), sea a la vez conmutativo y anticonmutativo, y respete $x \cdot x=x^2 =0$ para $\forall x$ en el universo? $0$ es la identidad aditiva.

Answer 1

Si $G$ es un grupo aditivo se puede equipar con el mapa de multiplicación $a\cdot b=0$ convirtiéndolo en un anillo, y esto satisfará las condiciones deseadas con creces. Sin embargo, podemos hacer algo menos trivial.

Basta con generar un anillo no unitario que sea conmutativo, de característica dos y suficientemente nilpotente.

Esto se puede hacer de la siguiente manera: dejemos que $X$ sea un conjunto infinito (cuyos elementos deben considerarse como incógnitas), y defina $A$ para ser la colección de todos los subconjuntos finitos no vacíos de $X$ (que debe considerarse como la colección de monomios no triviales en nuestras incógnitas), forman el espacio $\Bbb F_2A$ generado libremente por $A$ (este es el grupo aditivo subyacente de nuestro anillo) y equiparlo con la multiplicación extendida de

$$U\cdot V:= \begin{cases} U\cup V & U\cap V=\emptyset \\ 0 & U\cap V\ne \emptyset. \end{cases}$$

Lo anterior expresa lo que sería multiplicar monomios de incógnitas conmutables que satisfacen la relación $x^2=0$ Si los monomios no comparten ninguna incógnita, se combinan todos juntos, sino se obtiene el cuadrado $x^2$ de algún desconocido $x$ si está en ambos monomios por lo que obtenemos $0$ .

Esta multiplicación es claramente conmutativa, es distributiva por definición, y se comprueba fácilmente que es asociativa, por lo que de hecho tenemos un anillo en nuestras manos.

Answer 2

Tome el campo de dos elementos $F_2$ .

Entra en el anillo polinómico $F_2[x_1,x_2,\ldots,x_n\ldots]$ con un número contable de variables.

Agarra el ideal $I$ generado por $\{x_i^2\mid i\in \Bbb N\}$ y el ideal $J$ generado por $\{x_i\mid i\in \Bbb N\}$ .

El cociente rng $J/I$ es un rng conmutativo-anticomutativo de característica $2$ que satisface $X^2=0$ para todos los elementos $X$ .

El hecho de que sea característico $2$ hace que la conmutatividad y la anticonmutatividad sean lo mismo, y también permite utilizar el Teorema del sueño del novato para ver por qué cada elemento se cuadra con $0$ .