Una función polinómica $f(x)$ de grado $5$ con coeficientes principales uno $,$ aumento en el intervalo
$(-\infty,1)$ y $(3,\infty)$ y disminuye en el intervalo $(1,3).$ Dado que $f'(2)=0\;, f(0)=4$
Entonces el valor de $f'(6) =$
Intento: Dado el incremento de la función en el intervalo $(-\infty,1)$ y $(3,\infty)$ y disminuir
en el intervalo $(1,3).$ Así que tenemos $f'(1)=0$ y $f'(3)=0$
Así que $f'(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-\alpha)$
¿Podría alguien ayudarme a calcular $\alpha,$ gracias
Desde $f$ disminuye en todo el intervalo $(1,3)$ la raíz de $f'$ en $2$ debe tener incluso multiplicidad. No puede ser de 4 veces o más (ya que eso haría que el grado de $f'$ como un polinomio demasiado alto), por lo que debe ser un raíz doble y su $\alpha=2$ .
Obsérvese también que el coeficiente principal de $f'$ es $5$ que habías olvidado en tu desarrollo.
Gracias Henning , Pero no entendí la raíz de $f'$ en $2$ debe tener multiplicidad par. de la función anterior es decreciente en $(1,3)$ Entonces, ¿cómo podemos decir $f'(2) = 0$
@DurgeshTiwari: Un polinomio tendrá diferentes signos en los dos lados de una raíz de impar multiplicidad, pero mismo signo en las dos caras de una raíz de incluso multiplicidad. Dado que $f'$ es negativo en ambos lados de $2$ la raíz tiene que tener incluso multiplicidad.
Compárese con el comportamiento de $x^3+1$ alrededor de $0$ . La función es creciente en todas partes, pero su derivada $3x^2$ tiene una raíz doble en $0$ .
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