Del producto en el Interior se define como: si $\omega$ $k$y $X$ es un campo vectorial, entonces $\iota_X \omega$ $(k-1)$- forma definida por (recuerde, $\iota_X \omega$ "come" $k-1$ vectores y devuelve una función):
$$ [\iota_X \omega](V_1, V_2, \dots, V_{k-1}) := \omega(X,V_1, V_2, \dots, V_{k-1}) ,$$
es decir, acabamos de poner a $X$ en el primer argumento de $\omega$, dejando $k-1$ ranuras restantes.
He aquí un ejemplo: digamos que $\omega$ es de los dos-formulario de $\omega = dx \wedge dy$. Vamos en primer lugar, trabajar de lo $\omega$ es en algunos de los pares de campos vectoriales (esencialmente, debe tomar todas las siguientes a ser parte de la definición de $dx \wedge dy$):
$\omega(\partial_x, \partial_y) = 1$.
$\omega(\partial_y, \partial_x) = - \omega(\partial_x, \partial_y) = -1$.
$\omega(\partial_x, \partial_z) = 0$. Del mismo modo, si sustituimos en $\partial_z$ en la ranura en $\omega$ (no importa lo que está en la otra ranura), obtenemos cero, ya que $dz$ no aparece en $\omega$.
$\omega(\partial_x, \partial_x) = - \omega(\partial_x, \partial_x)$ por el antisymmetry de la propiedad de las formas,$\omega(\partial_x, \partial_x) = 0$. (Por el mismo razonamiento, $\omega(X, X) = 0$ cualquier $X$, y cualquiera de las dos forma -$\omega$.)
Un ejercicio de linealidad: $\omega(2 \partial_x + \partial_z, 3 \partial_x - 2\partial_y) = -4$ (¿por qué?).
Ahora veamos $\iota_{\partial_x} \omega$, la contracción de $\omega = dx \wedge dy$$\partial_x$. Para ello, tenemos que encontrar lo $\iota_{\partial_x} \omega$ está en cada uno de los tres vectores de la base $\partial_x$, $\partial_y$, y $\partial_z$:
$[\iota_{\partial_x} \omega] (\partial_x) = \omega(\partial_x, \partial_x) = 0$.
$[\iota_{\partial_x} \omega] (\partial_y) = \omega(\partial_x, \partial_y) = 1$.
$[\iota_{\partial_x} \omega] (\partial_z) = \omega(\partial_x, \partial_z) = 0$.
De manera muy suscinta, la información anterior nos dice simplemente que
$$\iota_{\partial_x} \omega = dy.$$
En retrospectiva, no teníamos que escribir todos los de arriba. En su lugar, podríamos haber visto ese $\iota_{\partial_x} \omega = dy$ sólo por el "punteo" a la $dx$ (que "se come" el vector $\partial_x$ estamos contratante con) de la parte delantera de $dx \wedge dy$ dejar $dy$.
Se puede aplicar esta algo formal y sin sentido "de depilar regla" para calcular otras contracciones, pero tienes que tener cuidado con los signos. Por ejemplo,
$$\iota_{\partial_y} \omega = \iota_{\partial_y} (dx \wedge dy) = \iota_{\partial_y} (- dy \wedge dx) = -dx.$$
El $\partial_y$ arranca fuera de la $dy$, dejando el $dx$, pero hemos tenido que mover el $dy$ a la primera posición con el fin de arrancar, la introducción de un signo menos. Les animo a comprobar que esto es correcto el uso de la primera (o más), la técnica por encima de la evaluación de $ \iota_{\partial_y} \omega$ en cada uno de $\partial_x$, $\partial_y$, y $\partial_z$.
Espero que si usted entiende este ejemplo, usted será capaz de hacer su problema, simplemente mediante el uso de la linealidad.
