Convergencia de una secuencia con$0<a_n<1$

Question

Deje {$a_n$} una secuencia que satisfaga$0<a_n<1$ y$4a_{n+1}(1-a_n) \ge 1$$ \forall n \in \Bbb{N}$. Muestre que {$a_n$} converge a$\frac{1}{2}$.

Mi solución:

Usando la desigualdad media aritmética media-geométrica:

$\frac{a_{n+1}+(1-a_n)}{2} \ge \sqrt{a_{n+1}(1-a_{n})} > \frac{1}{2}$. Por lo tanto$a_{n+1} > a_n$. Supongamos$a_n \to a_0$ para algunos$a_0$. Entonces$4a_0(1-a_0) \ge 1$ que implica que$(2a_0-1)^2 \le 0$. Por lo tanto $a_0 = \frac{1}{2}.$

¿Mi solución es correcta?

Answer 1

Eso está bien, excepto la estricta desigualdad. Tenga en cuenta que la secuencia constante$a_n = \frac{1}{2}$ satisface todas las condiciones, pero no satisface$$\frac{a_{n+1} + 1 - a_n}{2} \ge \sqrt{a_{n+1}(1 - a_n)} > \frac{1}{2}.$ $. Pero esto está bien, ya que el teorema de convergencia monótona no requiere una convergencia estricta para funcionar de todos modos.